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已知函数,其中. (1)若曲线在点处的切线与直线平行,求与满足的关系; (2)当...

已知函数,其中.

(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求满足的关系;

(2)当时,讨论的单调性;

(3)当时,对任意的,总有成立,求实数的取值范围.

 

(1);(2)①当时,在上单调递增;②当时,在和上单调递增;在上单调递减;当时,函数在和上单调递增;在上单调递减;(3). 【解析】 (1)求出,由函数在点处的切线与平行,得,从而可得结果;(2)求出,分三种情况讨论的范围,在定义域内,分别令求得的范围,可得函数增区间,求得的范围,可得函数的减区间;(3)当时,,对任意的恒成立等价于在恒成立. 设,两次求导,可得,从而可得结果. (1)由题意,得. 由函数在点处的切线与平行,得. 即. (2)当时,, 由知. ①当时,,在恒成立, 函数在上单调递增. ②当时,由,解得或; 由,解得. 函数在和上单调递增;在上单调递减. ③当时,,解得或; 由,解得. 函数在和上单调递增;在上单调递减. (3)当时,, 由,得对任意的恒成立. ,, 在恒成立. 设,则, 令,则, 由,解得. 由,解得; 由,解得. 导函数在区间单增;在区间单减, ,在上单调递减, ,. 故所求实数的取值范围.
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2)在(1)的情况下对抽取到的n名同学选物理选历史进行问卷调查,得到下列2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为选科目与性别有关?

 

选物理

选历史

合计

男生

90

 

 

女生

 

30

 

合计

 

 

 

 

3)在(2)的条件下,从抽取的选历史的学生中按性别分层抽样再抽取5名,再从这5名学生中抽取2人了解选政治、地理、化学、生物的情况,求2人至少有1名男生的概率.

参考公式:.

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

 

 

 

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