2010年全国竞赛数学

一、选择题

1. 难度：困难

若，则的值为（    ）．

（A）        （B）       （C）       （D）

2. 难度：困难

若实数a，b满足，则a的取值范围是 （     ）．

（A）a≤    （B）a≥4    （C）a≤或 a≥4   （D）≤a≤4

3. 难度：困难

如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（   ）．

（A）           （B）

（C）         （D）

4. 难度：困难

在一列数……中，已知，且当k≥2时，

（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（    ）．

(A) 1          (B) 2           (C) 3            (D) 4

5. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P₁，点P₁绕点B旋转180°得点P₂，点P₂绕点C旋转180°得点P₃，点P₃绕点D旋转180°得点P₄，……，重复操作依次得到点P₁，P₂，…， 则点P₂₀₁₀的坐标是（    ）．                  

（A）（2010，2） （B）（2010，）

（C）（2012，）  （D）（0，2）

二、填空题

6. 难度：困难

已知a＝－1，则2a³＋7a²－2a－12 的值等于             ．

7. 难度：困难

一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝             ．

三、解答题

8. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是              ．

 

四、填空题

9. 难度：困难

如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则         ． 

10. 难度：困难

对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为             ．

五、选择题

11. 难度：困难

如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．

 

 

六、解答题

12. 难度：困难

如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

13. 难度：困难

求满足的所有素数p和正整数m.

．

七、选择题

14. 难度：困难

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？