2011年奥林匹克初中数学训练题

一、选择题

1. 难度：困难

如图，已知在Rt△ABC中，AB=35，一个边长为12的正方形CDEF内接于△ABC.则△ABC的周长为(    ).

(A)35           (B)40          (C)81         (D)84

2. 难度：困难

设n=9+99+…+99…9(99个9).则n的十进制表示中，数码1有(    )个.

(A)50           (B)90          (C)99         (D)100

3. 难度：困难

已知f(x)=x²+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x₁，0)，(x₂，0)，且=8a-3.则a的值是(    ).

(A)1          (B)2           (C)0或        (D) 

4. 难度：困难

若不等式ax²+7x-1>2x+5对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是(    ).

(A)2≤x≤3          (B)2<x<3        (C)-1≤x≤1        (D)-1<x<1

5. 难度：困难

在Rt△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，AB=1，分别以AB、BC、CA为边长向△ABC外作等边△ABR、等边△BCP、等边△CAQ，联结QR交AB于点T.则△PRT的面积等于(    ).

(A)          (B)           (C)            (D)

6. 难度：困难

在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这15个小方格中，有(    )个可以是这枚棋子出发的小方格.

(A)6              (B)8              (C)9            (D)10

二、填空题

7. 难度：困难

正方形ABCD的边长为5，E为边BC上一点，使得BE=3，P是对角线BD上的一点，使得PE+PC的值最小.则PB=        .

8. 难度：困难

设a、b、c为整数，且对一切实数x，(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c) 恒成立.则a+b+c的值为         .

9. 难度：困难

如图，在以O为圆心的两个同心圆图2中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B.若OM=2，OP= 1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为         .

10. 难度：困难

从1， 2，…， 2 006中，至少要取出        个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为2 008.

三、解答题

11. 难度：困难

(20分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.

12. 难度：困难

(25分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD与内切圆相交于另一点P，联结PC、PE、PF.已知PC⊥PF.求证:

(1)EP/DE=PD/DC;(2)△EPD是等腰三角形.

13. 难度：困难

(25分)在中，有多少个不同的整数(其中，[x]表示不大于x的最大整数)?