2012届北京市西城区九年级第一学期期末测试数学卷

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线的顶点坐标为

A．      B．       C．       D．

2. 难度：中等

若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是

   A．2           B．3          C． 6          D．11

3. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为

A．        B．      C．          D．2

4. 难度：中等

如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，

BD=2，则AE的长为

A．2         B．3 

C．4         D．5 

5. 难度：中等

若正六边形的边长等于4，则它的面积等于

 A．　    B．     C．        D．

6. 难度：中等

如图，以点D为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A₁B₁C₁，A，B，C的对应点分别为A₁，B₁，C₁，DA₁与DA的比值为k，若两个三角形的顶点及点D

均在如图所示的格点上，则k的值和点C₁的坐标分别为

 A．2，      　  B．4，

 C．2，          D．2，

7. 难度：中等

如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为，则下列结论中正确的是

 A．　    　

 B．当时，y随x的增大而增大

 C．        

 D．是一元二次方程的一个根

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，，，⊙C的圆

心为点，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段

DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是

A．2                     B．

   C．                D．

二、填空题

9. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCB＝40°，则∠A=      °．

10. 难度：中等

将抛物线先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是        ．K]

11. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4 ．以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转角（），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时等于          ° ，△DEG的面积为     ．

12. 难度：中等

已知二次函数，（1）它的最大值为     ；（2）若存在实数m，n使得当自变量x的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰好是3m≤y≤3n，则m=      ，n=     ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：

14. 难度：中等

已知关于的方程有两个不相等的实数根．

 1.（1）求的取值范围；

 2.（2）若为符合条件的最大整数，求此时方程的根．

15. 难度：中等

已知抛物线.

1.（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；

2.（2）用配方法将化成的形式．

16. 难度：中等

已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．

1.（1）求证：△ABE∽△DEA；

2.（2）若AB=4，求的值．

17. 难度：中等

学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD 的面

积为S平方米．

1.（1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

2.（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？

18. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．

1.（1）若AD=10，，求AC的长和的值；

 2.（2）若AD=1，=，参考（1）的计算过程直接写

       出的值（用和的值表示）．

19. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形的边长为1，将其沿轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为．

1.（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；

2.（2）画出点运动的曲线（0≤≤4），并直接写出该曲线与轴所围成区域的面积．

20. 难度：中等

已知函数（x ≥ 0），满足当x =1时，，

且当x = 0与x =4时的函数值相等．

1.（1）求函数（x ≥ 0）的解析式并画出它的

图象（不要求列表）；

 2.（2）若表示自变量x相对应的函数值，且

 又已知关于x的方程

有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与

⊙O的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．

1.（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

2.（2）若OE与AD交于点F，，求的值．

22. 难度：中等

阅读下列材料：

题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断与的大小关系，并加以说明.

思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出与的差，再

说明y的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简【解析】
可将y的代数式整理成，要判断y的符号可借助函数的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a，b，c都是非负数，a＜5，且 ，．

1.（1）分别用含a的代数式表示4b，4c；

2.（2）说明a，b，c之间的大小关系．

23. 难度：中等

已知抛物线（其中）．

1.（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k的代数式表示)；

2.（2）若记该抛物线的顶点坐标为，直接写出的最小值；

3.（3）将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，随着的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

24. 难度：中等

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足

，连结MC，NC，MN．

1.（1）填空：与△ABM相似的三角形是△        ，=         ；（用含a的代数式表示）

2.（2）求的度数；

3.（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

25. 难度：中等

已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为，

（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．

1.（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=         ；

2.（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；

3.（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，

    ① 求此抛物线W的解析式；

    ② 若点Q在直线上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，

P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．