2007年浙江省温州市乐清中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2001•河南）如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x²-1）-2cx+b（x²+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定根的情况

2. 难度：中等

（2006•兰州）如图，P₁、P₂、P₃是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P₁A₁0，P₂A₂0，P₃A₃0，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃，则（ ）

A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₁＜S₃
C．S₁＜S₃＜S₂
D．S₁=S₂=S₃

3. 难度：中等

（2006•济宁）如图，以BC为直径，在半径为2的圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）

A．π-1
B．π-2
C．π-1
D．π-2

4. 难度：中等

由得a＞-3，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-3
B．m≥-3
C．m≤-3
D．m＜-3

5. 难度：中等

（2006•陕西）如图，矩形ABCG（AB＜BC）与矩形CDEF全等，点B，C，D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知抛物线y=ax²+2ax+4（0＜a＜3），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）是抛物线上两点，若x₁＜x₂，且x₁+x₂=1-a，则（ ）
A．y₁＜y₂
B．y₁=y₂
C．y₁＞y₂
D．y₁与y₂的大小不能确定

二、填空题

7. 难度：中等

（2013•工业园区模拟）二次函数y=ax²+（a-b）x-b的图象如图所示，那么化简的结果是    ．

8. 难度：中等

（2002•广州）如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S_△AIJ=1，则正方形ABCD的面积为    ．

9. 难度：中等

将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为    ．

10. 难度：中等

用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片    张；
（2）第n个图案中有白色纸片    张；
（3）从第1个图案到第n+1个图案，总共有白色纸片    张．

11. 难度：中等

如图所示，线段AB与CD都是⊙O中的弦，其中=108°，AB=a，=36°，CD=b，则⊙O的半径R=    ．

12. 难度：中等

阅读下列证明过程：
已知，如图：四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．

读后完成下列各小题．
（1）证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答：    ．
（2）作DE∥AB的目的是：    ．
（3）判断四边形ABED为平行四边形的依据是：    ．
（4）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是    ．
（5）若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？
答    ．

三、解答题

13. 难度：中等

（2001•苏州）某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．

14. 难度：中等

（2003•上海）如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D₁EF，当EF=时，讨论△AD₁D与△ED₁F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

15. 难度：中等

（2009•惠山区二模）二次函数y=ax²+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．
（1）试求a，b所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s．
（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离，并求x值；
（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01 km）．

17. 难度：中等

（2006•北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；
（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．