2007年浙江省温州中学自主招生考试数学试卷（A卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

方程|x²-6x+8|=1实根的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（ ）
A．95
B．89
C．79
D．75

3. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数是（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

4. 难度：中等

两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是p：1，而在另一个瓶子中是q：1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知直角三角形有一条直角边的长是质数n，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（ ）
A．n²+1
B．n²-1
C．n²+n
D．n²-n

6. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC=（ ）

A．145°
B．135°
C．120°
D．105°

二、填空题

7. 难度：中等

设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S_k，则S₁+S₂+…+S₂₀₀₈=    ．

8. 难度：中等

已知方程|x-1|+|x-2|+|x-10|+|x-11|=m无解，则实数m的取值范围是    ．

9. 难度：中等

已知x-=1，则=    ．

10. 难度：中等

如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，问电阻器断路的可能情况共有    种．

11. 难度：中等

已知m，n为正整数，若＜＜，当m最小时分数=    ．

12. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，已知BD=2DC，AM=3MD，过M作直线交AB，AC于P、Q两点．则+=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知二次函数y=x²+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且△ABC的面积S≤1．
（1）求q²-4p的取值范围；
（2）若p，q分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数．

14. 难度：中等

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）设PH=x，S_△PGH=y，求y关于x的函数解析式；
（2）△PGH的面积是否有最大值？如果有，求出最大面积，并求出此时PH的长度；如果没有，请说明理由；
（3）如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．

15. 难度：中等

2001年某月某日午夜，某校师生收看在莫斯科即将产生的2008年夏季奥林匹克运动会主办城市的电视现场直播，结果北京获得主办权，欣喜之余，他们发现：在场的师生人数恰是该天日数，男生数就是该月月数，且师、生、月、日数皆为质数，男生数多于教师数，男生数多于女生数，女生数多于教师数．经计算，学生数、月数、日数的和与教师数的差恰是2008年奥运会的届数，又知届数也是一个质数．试问：
（1）北京获2008年奥运会主办权是几月几日？（2）2008年奥运会是第几届？

16. 难度：中等

黑板上有三个正整数a、b、c（不计顺序）．允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个数，写上剩下的两个数的平方和．如：擦去a，写上b²+c²，这次操作完成后，黑板上的三个数为b、c、b²+c²．问：
（1）当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，58（不计顺序）．若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由；
（2）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2007．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由；
（3）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2008．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，已知⊙O₂交⊙O₁于A、B两点，且过⊙O₁的圆心O₁，AC是⊙O₁的弦，直线CB交⊙O₂于点D（异于A、B）．求证：DO₁⊥AC．

18. 难度：中等

已知a，b，c为实数，且a²+b²+c²+2ab=1，2ab（a²+b²+c²）=，一元二次方程（a+b）x²-（2a+c）x-（a+b）=0的两根为α，β．试求2α³+β^-5-β^-1的值．