2008年安徽省蚌埠二中自主招生考试数学素质测试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80°
B．30°＜A＜80°
C．10°＜A＜60°
D．10°＜A＜30°

2. 难度：中等

实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（ ）
A．小于或等于3的实数
B．小于3的实数
C．小于或等于-3的实数
D．小于-3的实数

3. 难度：中等

x₁，x₂是方x²+x+k=0的两个实根，若恰x₁²+x₁x₂+x₂²=2k²成立，k的值为（ ）
A．-1
B．或-1
C．
D．-或1

4. 难度：中等

代数式的最小值为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．11

5. 难度：中等

（2011•清流县质检）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

1×2+2×3+3×4+…+99×100（ ）
A．223300
B．333300
C．443300
D．433300

二、填空题

7. 难度：中等

多项式6x³-11x²+x+4可分解为    ．

8. 难度：中等

已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是    ．

9. 难度：中等

（2002•黄石）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是    ．

10. 难度：中等

方程（2007x）²-2006×2008x-1=0的较大根为a，方程x²+2006x-2007=0的较小根为b，则a-b=    ．

11. 难度：中等

已知x=，则x³+12x的算术平方根是    ．

12. 难度：中等

（2008•昆明）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：
（1）两面涂有红色的小正方体的个数；
（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；
（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．

14. 难度：中等

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x²y+xy²=66，求：代数式x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴的值．

15. 难度：中等

在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx²+2kx+1的顶点为A．求：
（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；
（2）用k表示B点的坐标；
（3）当k取何值时，∠ABC=60°？

16. 难度：中等

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．
（1）求证：RQ是⊙O的切线；
（2）求证：OB²=PB•PQ+OP²；
（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．

17. 难度：中等

平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．