2008年江苏省某四星级高中单独招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列计算中错误的是（ ）
A．4^-1=
B．（π-3）=1
C．3+2=5
D．（a⁴）²=a⁸

2. 难度：中等

如果一个正方体的边长增加了一倍，那么这个正方体的体积增加了（ ）
A．2倍
B．4倍
C．7倍
D．8倍

3. 难度：中等

某校初三（1），（2），（3）班分别有n₁、n₂、n₃人，一次数学测试的平均成绩分别为x₁、x₂、x₃，下列三种说法：
①三个班的平均成绩是（x₁+x₂+x₃）
②只有当n₁=n₂=n₃时，三个班的平均成绩才是（x₁+x₂+x₃）
③三个班的平均成绩是（n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃）
其中正确说法的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

将一重物放在一水平桌面上，在受力面积固定的情况下，给这一物体逐步施加竖直向下的压力F，那么压强P与压力F之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D，E，F，则点O是△ABC的（ ）

A．三条中线交点
B．三条高线交点
C．三条角平分线交点
D．三边中垂线交点

6. 难度：中等

（2010•大田县）抛物线y=kx²-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-
B．k≥-且k≠0
C．k≥-
D．k＞-且k≠0

7. 难度：中等

在函数y=-，y=-x+1，y=x²，y=2x的图象中，是中心对称图形且对称中心是原点的图象共有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．有一个角是60°的三角形

9. 难度：中等

两个半径不相等的圆的圆心都在x轴上，这两个圆的一个公共点的坐标为（-3，0），则这两个圆的公切线共（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．1条或3条

10. 难度：中等

有5个数，其中任两个数的和分别为：4，5，7，7，8，9，10，10，11，13．则将这5个数从小到大排列后，中间的一个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

a、b是方程x²+2x-5=0的两个实数根，则a²+ab+2a=    ．

12. 难度：中等

已知点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂）都是反比例函数y=图象上的点，当x₁＜0＜x₂时，y₁＜y₂，则k的值可为    （只需写出符合条件的一个k值，答案不唯一）．

13. 难度：中等

如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，标有数字4的面的对面所标的数字是    ．

14. 难度：中等

如图，把△ABC绕点C顺时针旋转22度，得△A₁B₁C，则直线AB与A₁B₁所成的锐角为    度．

15. 难度：中等

观察下列A，B，C三个图形，从A到B，从B到C的变化都具有某种规律，按照这种规律填出D图   

16. 难度：中等

一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为20，则这样的三角形共有    个．

17. 难度：中等

方程x²-|x-1|-1=0的根是x₁=    ，x₂=    （x₁＞x₂）．

18. 难度：中等

已知：x是实数且满足-（x²+3x）=2，则x²+3x-1=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

解关于x的不等式组：．

20. 难度：中等

小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
（1）据此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=______，i⁴²=______；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

21. 难度：中等

如图，P是正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，将△PBC绕点B按逆时针方向旋转90°到△QAB的位置．
（1）求PQ：PB的值；
（2）求∠APB的度数．

22. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似．设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

（2003•贵阳）如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

24. 难度：中等

（2003•泉州）周末某班组织登山活动，同学们分甲，乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发，设甲，乙两组行进同一路段所用的时间之比2：3．
（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比；
（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有1.2千米，试问山脚离山顶的路程有多远？
（3）在题（2）所述内容（除最后的问句处）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．
（要求：①问题的提出不需再增添其它条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有书面条件．）

25. 难度：中等

请你分别在下面三个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）中，各设计一个图案，要求所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，每个图形的面积都等于2，并且各图案不相同，将你设计的图案用铅笔涂黑．

26. 难度：中等

如图，菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=60°，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O⇒A⇒B的路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度，在AB上以每秒2cm的速度沿O⇒A⇒B的路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（两条平行线之间部分）的周长为ycm，请你回答下列问题：
（1）当x=3时，y的值是多少？
（2）求y与x之间的函数关系式，并画出此函数的图象．

27. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD的边AD与x轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A（1，0），AB=2，AD=3，点E为OD的中点，以AD为直径作⊙M，经过A、D两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
（1）求经过C、E两点的直线的解析式；
（2）如果点P同时在⊙M和矩形ABCD内部，求a的取值范围；
（3）过点B作⊙M的切线交边CD于F点，当PF∥AD时，判断直线CE与y轴的交点是否在抛物线上，并说明理由．