2009年浙江省宁波市余姚中学保送生选拔数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果多项式p=a²+2b²+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005
B．2006
C．2007
D．2008

2. 难度：中等

菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

方程（x²+x-1）^x+3=1的所有整数解的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

4. 难度：中等

已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，△AOD的面积为4，△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（ ）
A．21
B．22
C．25
D．26

5. 难度：中等

方程|xy|+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

6. 难度：中等

已知一组正数x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的方差为：S²=（x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²-20），则关于数据x₁+2，x₂+2，x₃+2，x₄+2，x₅+2的说法：①方差为S²；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S²．其中正确的说法是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④

7. 难度：中等

（2011•淮北一模）一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a（0°＜α＜180°）被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为（ ）
A．72°
B．108°或144°
C．144°
D．72°或144°

8. 难度：中等

如图，已知圆心为A，B，C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切．若⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为a，b，c（0＜c＜a＜b），则a，b，c一定满足的关系式为（ ）

A．2b=a+c
B．=
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知a﹑b为正整数，a=b-2005，若关于x方程x²-ax+b=0有正整数解，则a的最小值是    ．

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG∥AB，BG分别交AD，AC于E，F．若=，那么等于    ．

11. 难度：中等

（2006•宜宾）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0．其中正确的结论是    （填写序号）

12. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE²+PF²=8，则AB等于    ．

13. 难度：中等

某商铺专营A，B两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y与投入资金x（万元）的经验公式分别是y_A=x，y_B=．如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为    万元．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，凸五边形ABCDE中，已知S_△ABC=1，且EC∥AB，AD∥BC，BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA．试求五边形ABCDE的面积．

16. 难度：中等

如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．

17. 难度：中等

在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．
（1）求x、y的关系式；
（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．

19. 难度：中等

某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图（1），每条输出传送带每小时出库的货物流量如图（2），而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图（3），则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？

20. 难度：中等

已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN的长．