1. 难度:中等 | |
(2005•柳州)请你说清楚所有的正方形都相似的道理. |
2. 难度:中等 | |
(2005•绵阳)如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3. (1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明) (2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明; (3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论; (4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论. |
3. 难度:中等 | |
(2008•旅顺口区)如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC=______°,BC=______ |
4. 难度:中等 | |
(2005•镇江)已知:如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是AC上一点,∠ABD=∠C,直线EF过点D,与BA的延长线相交于F,且EF⊥BC,垂足为E. (1)写出图中所有与△ABD相似的三角形; (2)探索:设,是否存在这样的t值,使得△ADF∽△EDB?说明理由. |
5. 难度:中等 | |
(2005•武汉)已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC、BE.若∠BDE+∠BCE=180度. (1)写出图中三对相似三角形(注意:不得添加字母和线); (2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由. |
6. 难度:中等 | |
(2005•宁夏)已知:在⊙O中,CD平分∠ACB,弦AB、CD相交于点E,连接AD、BD. (1)写出图中3对相似的三角形(不必证明); (2)找出图中相等的线段,并说出理由. |
7. 难度:中等 | |
(2005•桂林)已知∠MON=90°,等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点,顶点B与点O重合,顶点C在∠MON内部. (1)当顶点B在射线ON上移动到B1时,连接AB1,请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1(保留作图痕迹,不写作法和证明); (2)设AB1与OC交于点Q,AC的延长线与B1C1交于点D.求证:△ACQ∽△AB1D; (3)连接CC1,试猜想∠ACC1为多少度?并证明你的猜想. |
8. 难度:中等 | |
(2005•漳州)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,顶点D,C分别在AM,BN上运动(点D不与A重合,点C不与B重合),E是AB上的动点(点E不与A,B重合),在运动过程中始终保持DE⊥CE,且AD+DE=AB=a. (1)求证:△ADE∽△BEC; (2)当点E为AB边的中点时(如图2),求证:①AD+BC=CD;②DE,CE分别平分∠ADC,∠BCD; (3)设AE=m,请探究:△BEC的周长是否与m值有关,若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长;若无关请说明理由. |
9. 难度:中等 | |
(2005•岳阳)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B、C重合),在AC上取E点,使∠ADE=45度. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式; (3)当:△ADE是等腰三角形时,求AE的长. |
10. 难度:中等 | |
(2005•玉林)如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,CF与AB交于点G,若CF=15cm,求GF之长. |
11. 难度:中等 | |
(2005•扬州)等腰△ABC,AB=AC=8,∠BAC=120°,P为BC的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转. (1)如图a,当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时.求证:△BPE∽△CFP; (2)操作:将三角板绕点P旋转到图b情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F. ①探究1:△BPE与△CFP还相似吗?(只需写出结论) ②探究2:连接EF,△BPE与△PFE是否相似?请说明理由; ③设EF=m,△EPF的面积为S,试用m的代数式表示S. |
12. 难度:中等 | |
(2005•威海)如图,AF⊥CE,垂足为点O,AO=CO=2,EO=FO=1. (1)求证:点F为BC的中点; (2)求四边形BEOF的面积. |
13. 难度:中等 | |
(2005•遂宁)如图:在平行四边形ABCD中,E是AD上的一点.求证:. |
14. 难度:中等 | |
(2005•苏州)(1)如图1所示,在等边△ABC中,点D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE,求证:AE∥BC; (2)如图2所示,将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形,所作△EDC相似于△ABC,请问仍有AE∥BC?证明你的结论. |
15. 难度:中等 | |
(2005•四川)如图,△ABC内接于⊙O,直径CD⊥AB,垂足为E,弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC,连接AD、AM. 求证:(1)△ACM≌△BCM; (2)AD•BE=DE•BC; (3)BM2=MN•MF. |
16. 难度:中等 | |||||||||||||
(2005•绍兴)E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点,连AE并延长交DC于P,连PF并延长交AB于Q,如图① (1)在备用图中,画出满足上述条件的图形,记为图②,试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度,估计AQ、BQ间的关系,并填入下表:(长度单位:cm)
(2)上述(1)中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗?为什么? (3)若将平行四边形ABCD改为梯形(AB∥CD)其他条件不变,此时(1)中猜测AQ、BQ间的关系是否成立?(不必说明理由) |
17. 难度:中等 | |
(2005•青岛)操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3种情况. 研究: (1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系,并结合图2加以证明; (2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由; (3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图4加以证明. |
18. 难度:中等 | |
(2005•南通)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F分别是OA、OB的中点. (1)求证:△ADE≌△BCF; (2)若AD=4cm,AB=8cm,求CF的长. |
19. 难度:中等 | |
(2005•南通)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm. (1)求证:四边形ABFE是等腰梯形; (2)求AE的长. |
20. 难度:中等 | |
(2005•茂名)如图,用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH,连接AE与BG、CF分别交于P、Q, (1)若AB=6,求线段BP的长; (2)观察图形,是否有三角形与△ACQ全等?并证明你的结论. |
21. 难度:中等 | |
(2005•临沂)如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点P,交AD的延长线于点E,若AD=5,AB=6,BC=9. (1)求DC的长; (2)求证:四边形ABCE是平行四边形. |
22. 难度:中等 | |
(2005•长沙)已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G. (1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG+FH=AC; (2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是______; (3)如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是______. 对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明. |
23. 难度:中等 | |
(2005•西宁)如图,在人民公园人工湖两侧的A、B两点欲建一座观赏桥,由于受条件限制,无法直接度量A、B间的距离.请你用学过的知识,在图中,设计三种测量方案. 要求: (1)画出你设计的测量平面草图; (2)在图形中标出测量的数据(长度用a、b、c…,角度用α、β、γ…表示),并写出测量的依据及AB的表达式; (3)设计一种得2分,设计两种得5分,设计三种得9分. |
24. 难度:中等 | |
(2005•芜湖)小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏,两同学越玩越开心,小胖对小瘦说:“真可惜!我只能将你最高翘到1米高,如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度,那么我就能翘到1米25,甚至更高!” (1)你认为小胖的话对吗?请你作图分析说明; (2)你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法?试说明. |
25. 难度:中等 | |
(2005•十堰)(1)在一个宁静的夜晚,月光明媚,张芳和身高为1.65m的李红两位同学在人民广场上玩.张芳测得李红的影长为1m,并立即测得小树影长为1.5m,请你估算小树的高约为多少? (2)如图,已知△ABC,请你增加一个条件,写出一个结论,并证明你写出的结论. |
26. 难度:中等 | |||||||||||||||||||||
(2005•江西)有一个测量弹跳力的体育器材,如图所示,竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米,CD=300厘米.现有一人站在斜杆AB下方的点E处,直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF,屈膝尽力跳起时,中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处,此时,就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩.设CE=x(厘米),EF=a(厘米). (1)问点G比点A高出多少厘米?(用含y,a的式子表示) (2)求出由x和a算出y的计算公式; (3)现有甲、乙两组同学,每组三人,每人各选择一个适当的位置尽力跳了一次,且均刚好触到斜杆,由所得公式算得两组同学弹跳成绩如下右表所示,由于某种原因,甲组C同学的弹跳成绩辨认不清,但知他弹跳时的位置为x=150厘米,且a=205厘米,请你计算C同学此次的弹跳成绩,并从两组同学弹跳成绩的整齐程度比较甲、乙两组同学的弹跳成绩.
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27. 难度:中等 | |
(2005•济南)如图,在一个长40m、宽30m的长方形小操场上,王刚从A点出发,沿着A⇒B⇒C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地2m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时,A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上. (1)求他们的影子重叠时,两人相距多少米?(DE的长) (2)求张华追赶王刚的速度是多少?(精确到0.1m/s) |
28. 难度:中等 | |
(2005•佛山)如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同. (1)图中b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式; (2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测试距离l1=8m,要使测得的视力相同,则②号“E”的测试距离l2应为多少? |
29. 难度:中等 | |
(2006•余姚市)把一个等腰直角三角形和一个正三角形分别分割成3个三角形,使等腰直角三角形中的3个小三角形和正三角形中的3个小三角形分别相似?请画出三角形的分割线,在小三角形的各个角上标出度数. |
30. 难度:中等 | |
(2005•无锡)已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. (1)将图1中的格点△ABC,先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,得到△A1B1C1,请你在图1中画出△A1B1C1; (2)在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形. |