2004年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》（04）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2004•上海）方程=x-1的根是    ．

2. 难度：中等

（2004•宁波）等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x²-10x+m=0的两根，则m的值为    ．

3. 难度：中等

（2004•本溪）如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，且CD，AB的长分别是一元二次方程x²-7x+12=0的两根，则tan∠DPB=    ．

4. 难度：中等

（2004•郑州）平面内两圆半径恰好是方程x²-8x+6=0的两个根，圆心距d=5，这两个圆的位置关系是    ．

5. 难度：中等

（2004•青海）两圆的圆心距d=4，两圆的半径分别是方程x²-5x+6=0的两个根，则两圆的位置关系是    ．

6. 难度：中等

（2004•河南）如果两圆半径恰好是方程x²-x+1=0的两个根，圆心距d=2，则两圆的公切线的条数是    ．

二、解答题

7. 难度：中等

（2004•连云港）（1）计算•；
（2）解方程．

8. 难度：中等

（2004•丽水）（1）计算：2²-2cos60°+|-2|；
（2）解方程：x²+4x+3=0；
（3）因式分【解析】
a³-9a．

9. 难度：中等

（2004•河南）已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x²-（a+b）x+ab=0与x²-abx+（a+b）=0有没有公共根．请说明理由．

10. 难度：中等

（2004•泉州）用配方法解方程：6x²-x-12=0．

11. 难度：中等

（2005•金华）解方程：x³-2x²-3x=0．

12. 难度：中等

（2004•乌鲁木齐）请先阅读例题的解答过程，然后再解答：
代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0，这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x₁=-2，x₂=．
根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有或，请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式＞0的解集，如果不正确，请说明理由．

13. 难度：中等

（2004•四川）解方程：x²+2x-3=0．

14. 难度：中等

（2004•陕西）解方程：-=1．

15. 难度：中等

（2004•四川）解方程：x²+3x=10．

16. 难度：中等

（2004•无为县）写出一个一元二次方程，不解这个方程，判别它的根的情况．

17. 难度：中等

（2004•遂宁）已知关于x的一元二次方程x²+（2k-1）x-k-1=0．
（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根x₁和x₂，且满足，求k的值．

18. 难度：中等

（2004•上海）关于x的一元二次方程mx²-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．

19. 难度：中等

（2004•江西）已知关于x的方程x²-2（m+1）x+m²=0，
（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；
（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

20. 难度：中等

（2004•东城区）如果关于x的方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m-5）x²-2（m-1）x+m=0的根的情况．

21. 难度：中等

（2009•鄂州）已知关于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

（2008•濮阳）已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

23. 难度：中等

（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．

24. 难度：中等

（2004•枣庄）（1）已知x+=3，求的值；
（2）已知关于x的一元二次方程x²-x+1-a=0有两个不相等的正根，求a的取值范围．

25. 难度：中等

（2004•扬州）已知关于x的方程（k-3）x²+kx+1=0：
（1）求证不论k取何值，方程总有实数根；
（2）当k=4时，设该方程的两个实数根为α、β，求作一个以和为根的一元二次方程．

26. 难度：中等

（2004•盐城）已知关于x的一元次方程x²-（m+2）x+m²-2=0
（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根x₁，x₂满足x₁²+x₂²=18，求m的值．

27. 难度：中等

（2004•襄阳）已知关于x的方程mx²+2（m+1）x+m=0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根的平方和为6，求m的值．

28. 难度：中等

（2004•温州）（附加题）（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使它的周长和面积都是矩形C的2倍？请说明你的理由；
（2）当实数m为什么值，对于任何一个矩形C，都存在另一个矩形，它的周长与面积都是矩形C的m倍？证明你的结论．

29. 难度：中等

（2004•苏州）已知关于x的一元二次方程ax²+x-a=0（a≠0）．
（1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；
（2）设x₁、x₂是该方程的两个根，若|x₁|+|x₂|=4，求a的值．

30. 难度：中等

（2004•沈阳）阅读下列解题过程：
题目：已知方程x²+3x+1=0的两个根为α、β，求的值．
【解析】
∵△=3²-4×1×1=5＞0
∴α≠β（1）
由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1（2）
∴=+===-3（3）
阅读后回答问题：
上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．