1. 难度:中等 | |
(2004•湖州)已知如图,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,过C作CD⊥x轴,垂足为D. (1)求点A、B的坐标和AD的长; (2)求过B、A、D三点的抛物线的解析式. |
2. 难度:中等 | |
(2004•杭州)二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图,已知它的顶点M在第二象限,且经过点A(1,0)和点B(0,1). (1)请判断实数a的取值范围,并说明理由; (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值. |
3. 难度:中等 | |
(2004•海淀区)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A的坐标为(0,2),以OA为直径作圆B.若点D是x轴上的一动点,连接AD交圆B于点C. (1)当tan∠DAO=时,求直线BC的解析式; (2)过点D作DP∥y轴与过B、C两点的直线交于点P,请任意求出三个符合条件的点P的坐标,并确定图象经过这三个点的二次函数的解析式; (3)若点P满足(2)中的条件,点M的坐标为(-3,3),求线段PM与PB的和的最小值,并求出此时点P的坐标. |
4. 难度:中等 | |
(2004•哈尔滨)已知:抛物线y=-x2-(m+3)x+m2-12与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<0,x2>0,抛物线与y轴交于点C,OB=2OA. (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上,点A的左侧,求一点E,使△ECO与△CAO相似,并说明直线EC经过(1)中抛物线的顶点D; (3)过(2)中的点E的直线y=x+b与(1)中的抛物线相交于M、N两点,分别过M、N作x轴的垂线,垂足为M′、N′,点P为线段MN上一点,点P的横坐标为t,过点P作平行于y轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q.是否存在t值,使S梯形MM'N'N:S△QMN=35:12?若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
(2004•广州)已知抛物线y=(m+1)x2-2mx+m(m为整数)经过点A(1,1),顶点为P,且与x轴有两个不同的交点. (1)判断点P是否在线段OA上(O为坐标原点),并说明理由; (2)设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1、x2,且x1<x2,是否存在实数m,使x1<m<x2?若存在,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
6. 难度:中等 | |
(2004•广东)如图,在等腰直角三角形ABC中,O是斜边AC的中点,P是斜边AC上的一个动点,D为BC上的一点,且PB=PD,DE⊥AC,垂足为点E. (1)求证:PE=BO; (2)设AC=2a,AP=x,四边形PBDE的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围. |
7. 难度:中等 | |
(2004•福州)如图所示,抛物线y=-(x-m)2的顶点为A,直线与y轴的交点为B,其中m>0. (1)写出抛物线对称轴及顶点A的坐标;(用含有m的代数式表示) (2)证明点A在直线l上,并求∠OAB的度数; (3)动点Q在抛物线的对称轴上,在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P,使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等?若存在,求出m的值,并写出所有符合上述条件的P点坐标;若不存在,说明理由. |
8. 难度:中等 | |
(2004•东城区)如图,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于点A、B,⊙E经过原点O及A、B两点. (1)C是⊙E上一点,连接BC交OA于点D,若∠COD=∠CBO,求点A、B、C的坐标; (2)求经过O、C、A三点的抛物线的解析式; (3)若延长BC到P,使DP=2,连接AP,试判断直线PA与⊙E的位置关系,并说明理由. |
9. 难度:中等 | |
(2004•大连)如图,抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于点B. (1)求抛物线的解析式; (2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求P点坐标. |
10. 难度:中等 | |
(2004•大连)阅读材料,解答问题. 材料:“小聪设计的一个电子游戏是:一电子跳蚤从这P1(-3,9)开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=x2上向右跳动,得到点P2、P3、P4、P5…(如图1所示).过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴,垂足为H1、H2、H3,则S△P1P2P3=S梯形P1H1H3P3-S梯形P1H1H2P2-S梯形P2H2H3P3=(9+1)×2-(9+4)×1-(4+1)×1,即△P1P2P3的面积为1.” 问题: (1)求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求:写出其中一个四边形面积的求解过程,另一个直接写出答案); (2)猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积,并说明理由(利用图2); (3)若将抛物线y=x2改为抛物线y=x2+bx+c,其它条件不变,猜想四边形Pn-1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案). |
11. 难度:中等 | |
(2004•四川)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于不同的两点A和B(4,0),与y轴交于点C(0,8),其对称轴为x=1. (1)求此抛物线的解析式; (2)过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直(垂足为E)的直线OE的方程; (3)设⊙O′与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q,直线x=m与抛物线的交点为R,直线x=m与直线OE的交点为S.是否存在整数m,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. |
12. 难度:中等 | |
(2004•郴州)已知:如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A(0,6),D(4,6),且AB=2. (1)求点B的坐标; (2)求经过B、D两点的抛物线y=ax2+bx+6的解析式; (3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得?若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由. |
13. 难度:中等 | |
(2004•朝阳区)已知抛物线y=ax2+(+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. |
14. 难度:中等 | |
(2004•长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2),⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C,⊙A被y轴分成段两圆弧,其弧长之比为3:1,直线l与⊙A切于点O,抛物线的顶点在直线l上运动. (1)求⊙A的半径; (2)若抛物线经过O、C两点,求抛物线的解析式; (3)过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点,且PC=CE,求点E的坐标; (4)若抛物线与x轴分别相交于C、F两点,其顶点P的横坐标为m,求△PFC的面积关于m的函数解析式. |
15. 难度:中等 | |
(2004•长春)已知二次函数y=x2-8x+15的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C.请结合这个函数的图象解决下列问题: (1)求△ABC的面积; (2)点P在这个二次函数的图象上运动,能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个?请直接写出满足条件的P点坐标; (3)在(2)中,使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在?如果存在,写出P点的个数;如果不存在,请说明理由. |
16. 难度:中等 | |
(2004•北京)已知:在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线,设交点分别为A、B.若∠AOB=90°. (1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值,并说明理由; (2)确定抛物线y=ax2(a>0)的解析式; (3)当△AOB的面积为4时,求直线AB的解析式. |
17. 难度:中等 | |
(2004•无锡)已知:如图,Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm.点O从A点出发,沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒(t>0)时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点.过E作EG⊥DE交射线BC于G. (1)若E与B不重合,问t为何值时,△BEG与△DEG相似? (2)问:当t在什么范围内时,点G在线段BC上当t在什么范围内时,点G在线段BC的延长线上? (3)当点G在线段BC上(不包括端点B、C)时,求四边形CDEG的面积S(cm2)关于时间t(秒)的函数关系式,并问点O运动了几秒钟时,S取得最大值最大值为多少? |
18. 难度:中等 | |
(2004•无锡)将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G(如图). (1)如果M为CD边的中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5; (2)如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否有与点M的位置关系?若有关,请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示;若无关,请说明理由. |
19. 难度:中等 | |
(2004•重庆)如图,AB、CD是两个过江电缆的铁塔,塔AB高40米,AB的中点为P,塔底B距江面的垂直高度为6米.跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形,为了保证过往船只的安全,电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米.已知:人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上;再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上. (1)求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离); (2)若以点A为坐标原点,向东的水平方向为x轴,取单位长度为1米,BA的延长方向为y轴建立坐标系.求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式. |
20. 难度:中等 | |
(2004•烟台)如图,已知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD,AB=10,BC=3. (1)如果M为AB上一点,且满足∠DMC=∠A,求AM的长; (2)如果点M在AB边上移动(点M与A,B不重合),且满足∠DMN=∠A,MN交BC延长线于N,设AM=x,CN=y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围. |
21. 难度:中等 | |
(2004•潍坊)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P,连接DP,作射线PE⊥DP,PE与直线AB交于点E. (1)试确定CP=3,点E的位置; (2)若设CP=x,BE=y,试写出y关于自变量x的函数关系式; (3)若在线段BC上能找到不同的两点P1,P2使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时a的取值范围. |
22. 难度:中等 | |
(2004•湟中县)如图,有一块三角形土地,它的底边BC=100米,高AH=80米,某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,当这座大楼的地基面积最大时.这个矩形的长和宽各是多少? |