2004年全国中考数学试题汇编《圆》（13）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2004•龙岩）如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

2. 难度：中等

（2004•荆门）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作AC的延长线的垂线DP，垂足为P．若PD=12，PC=8，求⊙O的半径R的长．

3. 难度：中等

（2004•淮安）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G．
（1）连接CD，若AG=4，DG=2，求CD的长；
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F．求证：EF与⊙O相切．

4. 难度：中等

（2004•海淀区）已知：如图所示，A、K为圆O上的两点，直线FN⊥MA，垂足为N，FN与圆O相切于点F，∠AOK=2∠MAK．
（1）求证：MN是圆O的切线；
（2）若点B为圆O上一动点，BO的延长线交圆O于点C，交NF于点D，连接AC并延长交NF于点E．当FD=2ED时，求∠AEN的余切值．

5. 难度：中等

（2004•大连）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD•CE=DE•DF；
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

6. 难度：中等

（2004•北京）已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）当BC=时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．

7. 难度：中等

（2004•太原）已知：如图，在△ABC中，∠B=90度．O是BA上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1．设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x．
（1）求BE的长；
（2）求x为何值时，以P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）在点P的运动过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（4）请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案．

8. 难度：中等

（2004•宿迁）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PA=1，试求PQ的长．

9. 难度：中等

（2004•陕西）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBD过圆心，交⊙O于另一点D，连接CD．
（1）求证：PA∥BC；
（2）求⊙O的半径及CD的长．

10. 难度：中等

（2004•广州）如图，PA为圆的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点D，交AC于点E．
求证：（1）AD=AE；（2）AB•AE=AC•DB．

11. 难度：中等

（2004•徐州）已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3．求BD和AC的长．

12. 难度：中等

（2004•无锡）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

13. 难度：中等

（2004•天津）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．

14. 难度：中等

（2004•郑州）如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

15. 难度：中等

（2004•佛山）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O切于D，CB⊥AB，延长CD、BA交于E．若EA=1，ED=2，求CD的长．

16. 难度：中等

（2004•梅州）如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）填空：当______时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）；
（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r=1，DE、AC的延长线相交于点G，求GF的长．

17. 难度：中等

（2004•淄博）已知⊙O的半径为R，⊙P的半径为r（r＜R），且⊙P的圆心P在⊙O上．设C是⊙P上一点，过点C与⊙P相切的直线交⊙O于A、B两点．
（1）若点C在线段OP上，（如图1）．求证：PA•PB=2Rr；
（2）若点C不在线段OP上，但在⊙O内部如图（2）．此时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由；
（3）若点C在⊙O的外部，如图（3）．此时，PA•PB与R，r的关系又如何？请直接写出，不要求给予证明或说明理由．

18. 难度：中等

（2004•郑州）如图，B是线段AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆．过B作BD⊥AC，与较大半圆相交于点D，以BD为直径的圆交两个较小半圆于E、F．
求证：（1）四边形BEDF是矩形；（2）直线EF是以AB、BC为直径的两个半圆的公切线．

19. 难度：中等

（2004•宜昌）天象图片欣赏：
如图1是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初亏到食既的月全食过程．
数学问题解决：
用数学的眼光看图1，可以认为是地球、月球投影（两个圆）的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化：2时48分月球投影开始进入地球投影的黑影（图2）；接着月球投影沿直线OP匀速地平行移动进入地球投影的黑影（图3）；3时52分，这时月球投影全部进入地球投影的黑影（图4）．
设照片中的地球投影如图2中半径为R的大圆⊙O，月球投影如图2中半径为r的小圆⊙P，求这段时间内圆心距OP与时间t（分）的函数关系式，写出自变量的取值范围．

20. 难度：中等

（2004•徐州）如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，顺次连接O₁、A、O₂、B四点，得四边形O₁AO₂B．
（1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪些性质（用文字语言写出4条性质）
性质1______；
性质2______；
性质3______；
性质4______．
（2）设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r（R＞r），O₁，O₂的距离为d．当d变化时，四边形O₁AO₂B的形状也会发生变化．要使四边形O₁AO₂B是凸四边形（把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形）．则d的取值范围是______

21. 难度：中等

（2004•宿迁）如图1，已知⊙O₁、⊙O₂内切于点P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O₂交于点E．
（Ⅰ）求证：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若将题中“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？请说明理由．

22. 难度：中等

（2004•宁波）已知AB是半圆O的直径，AB=16，P点是AB上的一动点（不与A、B重合），PQ⊥AB，垂足为P，交半圆O于Q；PB是半圆O₁的直径，⊙O₂与半圆O、半圆O₁及PQ都相切，切点分别为M、N、C．
（1）当P点与O点重合时（如图1），求⊙O₂的半径r；
（2）当P点在AB上移动时（如图2），设PQ=x，⊙O₂的半径r．求r与x的函数关系式，并求出r取值范围．

23. 难度：中等

（2004•南通）已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P₁位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1．
（1）求BC、AP₁的长；
（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；
（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切．
①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；
②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由．

24. 难度：中等

（2004•镇江）已知：如图，⊙O与⊙O′内切于点B，BC是⊙O的直径，BC=6，BF为⊙O′的直径，BF=4，⊙O的弦BA交⊙O′于点D，连接DF、AC、CD．
（1）求证：DF∥AC；
（2）当∠ABC等于多少度时，CD与⊙O′相切并证明你的结论；
（3）在（2）的前提下，连接FA交CD于点E，求AF、EF的长．

25. 难度：中等

（2004•武汉）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂内切于P点，过P点作直线交⊙O₁于A点，交⊙O₂于B点，C为⊙O₁上一点，过B点作⊙O₂的切线交直线AC于Q点．
（1）求证：AC•AQ=AP•AB；
（2）若将两圆内切改为外切，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？______请你画出图形，并证明你的结论．

26. 难度：中等

（2004•沈阳）如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）过点A的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；
（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点A、B、C重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

27. 难度：中等

（2004•内江）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O₁O₂的延长线交于C点，在AP延长线上有一点E，满足，PE交⊙O₂于D．
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=，求的值．

28. 难度：中等

（2004•聊城）请解决下列问题：
（1）如图甲，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在相似三角形？请给予说明；
（2）如图乙，相交于C、P两点，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在分别以AB、A′B′为一边的两个相似三角形？请给予说明．

29. 难度：中等

（2004•丽水）已知⊙O₁与⊙O₂相切于点P，它们的半径分别为R、r．一直线绕P点旋转，与⊙O₁、⊙O₂分别交于点A、B（点P、B不重合），探索规律：
（1）如图1，当⊙O₁与⊙O₂外切时，探求与半径R、r之间的关系式，请证明你的结论；
（2）如图2，当⊙O₁与⊙O₂内切时，第（1）题探求的结论是否成立？为什么？

30. 难度：中等

（2004•锦州）某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm，宽18cm的薄铁板上截出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画了草图，但他在求小圆的半径时遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．