2004年全国中考数学试题汇编《圆》（14）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2004•济南）已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O₁与⊙O₂都不在△ABC的外部，且⊙O₁、⊙O₂分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O₁和⊙O₂是等圆；
（2）设⊙O₁的半径长为x，圆心距O₁O₂为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O₁与⊙O₂外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O₂先向左平移至和⊙O₁重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O₁第一次回到它原来的位置时，求点O₁经过的路线长度？

2. 难度：中等

（2004•黄冈）如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相等的圆形凳面，问怎么才能截出直径最大的凳面，最大的直径是多少厘米？

3. 难度：中等

（2004•大连）如图1，⊙O₁和⊙O₂内切于点P．C是⊙O₁上任一点（与点P不重合）．
实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O₁，另一直角边所在直线交⊙O₂于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O₁于点E、F，连接CE（图2是实验操作备用图）．
探究：（1）你发现弧CE、弧CF有什么关系？用你学过的知识证明你的发现；
（2）你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现．
（3）附加题：如图3，若将上述问题的⊙O₁和⊙O₂由内切改为外切，其它条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并说明．

4. 难度：中等

（2004•乌鲁木齐）如图，已知圆O₁与圆O₂相交于A，B两点，直线O₁A交圆O₁于C，交圆O₂于D，连接CB并延长交圆O₂于E，AF切圆O₁于A，交CE于F．
（1）求证：；
（2）若，圆O₁的半径为2，且∠C=30°，求DE的长．

5. 难度：中等

（2004•天津）已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．

6. 难度：中等

（2004•山西）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A和点B，且点O₁在⊙O₂上，过点A的直线CD分别与⊙O₁、⊙O₂交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O₁、⊙O₂交于点E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求证：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

7. 难度：中等

（2004•济南）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．
（1）如图1，连接OO′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA•OB的值；
（2）若点C为⊙O上一动点．
①当点C运动到⊙O′时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于A、B两点，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图3，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

8. 难度：中等

（2004•云南）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）

9. 难度：中等

（2004•三明）如图①有一个宝塔，他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．（下列各题结果精确到0.1m）
（1）求地基的中心到边缘的距离；
（2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

10. 难度：中等

（2004•广州）如图，正六边形的螺帽的边长a=17mm，这个扳手的开口b最小应是多少？（结果精确到1mm）

11. 难度：中等

（2004•青岛）如图，AB、CD是两条相互垂直的公路，设计时想在拐弯处用一段圆弧形湾道把它们连接起来（圆弧在A、C两点处分别与道路相切），测得AC=60米，∠ACP=45度．
（1）在图中画出圆弧形弯道的示意图；
（2）求弯道部分的长．（结果保留四个有效数字）．

12. 难度：中等

（2004•南宁）如图，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB延长线上一点，射线AC切⊙O于点C，弧BC的长为cm，求线段AB的长（精确到0.01cm）

13. 难度：中等

（2004•本溪）已知，如图，P，C是以AB为直径的半圆O上的两点，AB=10，的长为，连接PB交AC于M，
求证：MC=BC．

14. 难度：中等

（2004•大连）如图1，图2…、图m是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．

（1）图1中3条弧的弧长的和为______，图2中4条弧的弧长的和为______；
（2）求图m中n条弧的弧长的和（用n表示）．

15. 难度：中等

（2004•宜昌）如图是一把绸扇，线段AD、BC所在的直线相交于点O，与是以点O为圆心，半径分别为10cm，20cm的圆弧，且∠AOB=150度．这把绸扇的绸布部分ADCB的面积是多少？（不考虑绸布的折皱，结果用含π的式子表示）

16. 难度：中等

（2004•宁波）如图，矩形ABCD中，AB=1，若直角三角形ABC绕AB旋转所得圆锥的侧面积和矩形ABCD绕AB旋转所得圆柱的侧面积相等，求BC的长．

17. 难度：中等

（2004•郑州）如图，在△ABC中，AD、CE是两条高，连接DE．如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等），并对其中一个结论给予证明．

18. 难度：中等

（2004•苏州）如图，⊙O₂与⊙O₁的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在⊙O₁上，直线AD与⊙O₂交于点E，与直线BC交于点F．
（1）如图①，当A在弧CD上时，求证：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；
（2）如图②，当A在弧BD上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论．

19. 难度：中等

（2004•河南）如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC、BD切半圆O于A、B，CD切半圆O于E．请分别写出两个角相等、两条边相等、两个三角形全等、两个三角形相似等四个正确的结论．

20. 难度：中等

（2004•乌鲁木齐）一个小孩荡秋千，如图所示，秋千链子的长OA为2.5米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好是60°，并且两边摆动角度相同，
求：（1）秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差；
（2）秋千从B点摆动至D点所走过的路程．（结果都精确到0.01）