2004年全国中考数学试题汇编《尺规作图》（01）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2004•江西）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形．∠ACB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠ACB的平分线上．    ．

2. 难度：中等

（2004•长沙）∠AOB如图所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）．   

3. 难度：中等

（2006•烟台）正方形网格中，小格的顶点叫做格点．小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC．请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等    ．

二、解答题

4. 难度：中等

（2005•绵阳）请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ=60°，在它的边OP上截取OA=50mm，OQ上截取OB=70mm，连接AB，画∠AOB的平分线与AB交于点C，并量出AC和OC的长．
（结果精确到1mm，不要求写作法）．

5. 难度：中等

（2004•镇江）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°．
（1）作AB边的垂直平分线DE交AC于点D、AB于点E，连接BD．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若BC=1，则AD=______，tanA=______

6. 难度：中等

（2004•徐州）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用直尺和圆规作出么ABC的平分线BE，交AD的延长线于点E，交DC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：△ABE是等腰三角形；
（3）在（1）中所得图形中，除△ABE外，请你写出其他的等腰三角形．（不要求证明）

7. 难度：中等

（2004•佛山）图①为一个窗子的轮廓线，是由半圆和矩形相接而成，请你在图②中补作一个半圆，使它与图①完全相同（要求：用尺规作图，不写作法和证明，但保留作图痕迹）．

8. 难度：中等

（2004•郑州）如图，木工师傅要把一块矩形木板ABCD的四个角锯成半径为5cm，并且与两边相切的圆弧形．请你帮助师傅设计一种方案，并在木板上把一个角的圆弧线画出来（保留画图痕迹，写出画法）

9. 难度：中等

（2004•枣庄）为美化环境，某单位需要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：
（1）分割后的整个图形必须是中心对称图形；
（2）四块图形的形状相同；
（3）四块图形的面积相等．
请按照上述三个要求，分别在下面的正方形中给出4种不同的分割方法．（尺规或徒手作图均可，但要尽可能准确、美观些，不写画法）

10. 难度：中等

（2004•云南）如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形．（全部用上，互不重合且不留空隙），并把你的拼法依照图示按实际大小画在方格内（方格为1cm×1cm）
（1）不是正方形的菱形；（一个）
（2）不是正方形的矩形；（一个）
（3）梯形；（一个）
（4）不是矩形和菱形的平行四边形；（一个）
（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形；（一个）
（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形；（画出的图形互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）
（7）画凸多边形．（与上面画的图形不一样）

11. 难度：中等

（2004•无锡）读一读，想一想，做一做：
（1）国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．
①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置．
②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互相不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）．

（2）现有足够的2×2，3×3的正方形和2×3的矩形图片A、B、C（如图），现从中各选取若干个图片拼成不同的图形．请你在下面给出的方格纸中，按下列要求分别画出一种拼法示意图（说明：下面给出的方格纸中，每个小正方形的边长均为1．拼出的图形，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠．画图必须保留拼图的痕迹）．
①选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，在下面的图1中拼成一个正方形；
②选取A型图片4块，B型图片1块，C型图片4块，在下面的图2中拼成一个正方形；
③选取A型图片3块，B型图片1块，再选取若干块C型图片，在下面的图3中拼成一个矩形．

12. 难度：中等

（2004•乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育心中，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置．（不写作法，保留作图痕迹）

13. 难度：中等

（2004•潍坊）（A）如图为人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（我们不能直接量得）．请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．
要求：
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用a，b，c，…表示；角度用α，β，γ，…表示）；
（3）根据你测量的数据，计算A、B两棵树间的距离；
（B）现有树12棵，把它栽成三排，要求每排恰好为5棵，如图所示就是一种符合条件的栽法．请你再给出三种不同的栽法．（画出图形即可）

14. 难度：中等

（2004•泰州）用剪刀将形状如图（甲）所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图（乙）中的Rt△BCE就是拼成的一个图形．
（1）用这两部分纸片除了可以拼成图乙中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在图丙、图丁的虚框内；
（2）若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b恰好是关于x的方程x²-（m-1）x+m+1=0的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．

15. 难度：中等

（2004•陕西）李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图1），鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树．现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）．
（1）若按圆形设计，利用（图1）画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出网形鱼塘的面积；
（2）若按正方形设计，利用（图2）画出你所设计的正方形鱼塘示意图；
（3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？

16. 难度：中等

（2004•山西）某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角料，现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC（如图），现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中，设计出所有符合要求的不同的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

17. 难度：中等

（2004•日照）如图．两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m×5m．图（2）是由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．
（1）焊接后的正方形工件的边长是______

18. 难度：中等

（2004•衢州）附加题：等边三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用两种不同的分割方法，将以下两个等边三角形分别割成四个等腰三角形．（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）

19. 难度：中等

（2004•南通）如图，菱形公园内有四个景点，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分：
（1）用直线分割；
（2）每个部分内各有一个景点；
（3）各部分的面积相等．（可用铅笔画，只要求画图正确，不写画法）

20. 难度：中等

（2004•连云港）（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

21. 难度：中等

（2004•湟中县）有一块三角形的地，现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）请你在图上作出分法．（不写作法，保留作图痕迹）

22. 难度：中等

（2004•湟中县）请用几何图形（一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切，诙谐的解说词．（至少两幅图）

23. 难度：中等

（2004•河北）探索下列问题：
（1）在图1给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S₁和S₂．①请你在图2中相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）；
②请你在图3中分别画出反映S₁与S₂三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＜”，“=”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．

24. 难度：中等

（2004•安徽）正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下：

仿上用图示的方法，解答下列问题，操作设计
（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形；

（2）对任意三角形，设计一种方案，将它分若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．

25. 难度：中等

（2004•宜昌）（1）如图1，请你将一张长方形的纸对折、再对折，然后按图中所示随意撕去一小部分，再将纸展开，把得到的图案画在试卷上，从对称的角度来说，你画出的这个图形有哪些几何特征？
（2）如图2，已知△ABC．
①作∠B的角平分线；（要求：用尺规作图、保留作图痕迹，不写作法和证明）
②若∠C=90°，∠B=60°，BC=4，∠B的平分线交AC于D，请求出线段BD的长．

26. 难度：中等

（2004•南平）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）求作：∠A的平分线AE交BC于E，交BD于F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）求证：①AB=BE；
②．