2004年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（04）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．
（1）求证：△ABP∽△PCE；
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．

2. 难度：中等

（2004•湖州）已知如图，A是⊙O的直径CB延长线上一点，BC=2AB，割线AF交⊙O于E、F，D是OB的中点，且DE⊥AF，连接BE、DF．
（1）试判断BE与DF是否平行？请说明理由；
（2）求AE：EC的值．

3. 难度：中等

（2004•朝阳区）已知：如图，圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于点F，AB=BE，连接AC，且OD=3，AF=FB=，求AC的长．

4. 难度：中等

（2005•双柏县）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E，且=．点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）．连接BP、AP．
（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

5. 难度：中等

（2004•扬州）如图，AB是半圆⊙O的直径，AC⊥AB，AB=2AC，BF⊥AB，在直径AB上任取一点P（不与端点A、B重合），过A、P、C三点的圆与⊙O相交于除点A以外的另一点D，连接AD并延长交射线BF于点E，连接DB、DP、DC．
（1）求证：△ACD∽△BPD；
（2）求证：BE=2BP；
（3）试问当点P在何位置时，DE=2AD．

6. 难度：中等

（2004•武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．
（1）求证：BE=IF；
（2）若AI⊥CE，设Q为BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT•AG的值；
（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O₁交y轴于另一点N．设⊙O₁的半径为R，当时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

7. 难度：中等

（2004•芜湖）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC．求证：△BDA∽△CED．

8. 难度：中等

（2004•衢州）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC为直径的圆分别交AB于点E，交AC于点F，连接EF．
（1）求证：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）观察当点C在x轴上移动时，点F移动变化的情况．试求点C₁（，0）移动到点C₂（3，0）点F移动的行程．

9. 难度：中等

（2004•内江）如图，∠BAC的平分线AE交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E．求证：BE²=ED•EA．

10. 难度：中等

（2004•济宁）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D．延长DA交△ABC的外接圆于点F．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2，AD=4，求FB的长．

11. 难度：中等

（2004•哈尔滨）如图：已知，△ABC内接于⊙O，弦BC所对的劣弧为120°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CE分别交AC于D，交AB于E，BD、CE相交于点F．
（1）求cot∠EFB的值；
（2）求证：EF=DF；
（3）当BF=3EF，且线段BF、CF的长是关于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0（m＞0）的两个实数根时，求AB的长．

12. 难度：中等

（2004•东城区）如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．
（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）若∠D=45°，BC=2，求⊙O的面积．

13. 难度：中等

（2004•四川）已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．
求证：（1）；（2）AH•BC=2AB•BE．

14. 难度：中等

（2004•常州）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长．

15. 难度：中等

（2004•重庆）如图，在⊙O的内接△ABC中，AB=AC，D是⊙O上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P．
（1）求证：AB²=AD•AP；
（2）若⊙O的直径为25，AB=20，AD=15，求PC和DC的长．

16. 难度：中等

（2004•三明）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C除外），AF与DC的延长线相交于点M．
（1）求证：△AFD∽△CFM；
（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

（2004•泸州）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB²=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．

18. 难度：中等

（2010•楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（-4，0）．

（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上的一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

（2005•梅州）已知，如图（甲），正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不运动到M和C，以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探索P在线段MC上运动时，求AF•BP的值；
（3）延长DC、FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙），是否存在点P，使△EFO∽△EHG？如果存在，试求此时的BP的长；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

（2004•云南）如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个并求AP的长．

21. 难度：中等

（2004•岳阳）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于P点，过⊙O₁上一点B作⊙O₁的切线，交⊙O₂于C、D，直线BP交⊙O₂于点A．
（1）求证：∠CBP=∠ADP；
（2）求证：AD²+BC•BD=AB²；
（3）设⊙O₂的面积为S₂，⊙O₁的面积为S₁；且S₂：S₁=9：1，当AD=，求BP的长．

22. 难度：中等

（2004•玉溪）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且DC切⊙O于C点，∠CAD=30°，延长DC到点E，使∠CAE=∠CAD．
（1）试探求AD与⊙O的半径有怎样的数量关系，并加以证明；
（2）求证：AC•CD=AE•OD．

23. 难度：中等

（2004•宜昌）已知AB=2，∠ABC=60°，D是线段AB上的动点，过D作DE⊥BC，垂足为E，四边形DEFG是正方形，点F在射线BC上，连接AG并延长交BC于点H．
（1）求DE的取值范围；
（2）当DE在什么范围取值时，△ABH为钝角三角形；
（3）过B、A、G三点的圆与BC相交于点K，过K作这个圆的切线KL与DG的延长线相交于点L．若GL=1，这时点K与点F重合吗？请说明理由．

24. 难度：中等

（2004•盐城）如图1，E为线段AB上一点，AB=4BE，以AE，BE为直径在AB的同侧作半圆，圆心分别为O₁，O₂，AC、BD分别是两半圆的切线，C、D为切点．
（1）求证：AC=BD；
（2）现将半圆O₂沿着线段BA向点A平移，如图2，此时半圆O₂的直径E′B′在线段AB上，AC′是半圆O₂的切线，C′是切点，当为何值时，以A、C′、O₂为顶点的三角形与△BDO₁相似？

25. 难度：中等

（2004•无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm²）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？

26. 难度：中等

（2004•南通）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB，DE，OC．
（1）从图中找出一对相似三角形（不添加任何字母和辅助线），并证明你的结论；
（2）若AD=2，AE=1，求CD的长．

27. 难度：中等

（2004•茂名）已知：如图，延长⊙O的直径AB到点C，过点C作⊙O的切线CE与⊙O相切于点D，AE⊥EC交⊙O于点F，垂足为点E，连接AD．
（1）若CD=2，CB=1，求⊙O直径AB的长；
（2）求证：AD²=AC•AF．

28. 难度：中等

（2004•临沂）如图△ABC中，AB=AC，EF∥BC，且⊙O内切于四边形BCFE．
（1）当时，sinB=______

29. 难度：中等

（2004•嘉兴）如图，已知⊙B的半径r=1，PA、PO是⊙B的切线，A、O是切点．过点A作弦AC∥PO，连接CO、AO（如图1）．
（1）问△PAO与△OAC有什么关系？证明你的结论；
（2）把整个图形放在直角坐标系中（如图2），使OP与x轴重合，B点在y轴上．
设P（t，0），P点在x轴的正半轴上运动时，四边形PACO的形状随之变化，当这图形满足什么条件时，四边形PACO是菱形？说明理由．

30. 难度：中等

（2004•黄冈）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD²=AE•AF成立（不要求证明）．
（1）若将弦CD向下平移至与O相切B点时，如图2，则AEAF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE•AF等于哪两条线段的积并给出证明；
（2）当CD继续向下平移至与O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立？并说明理由．