2004年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（05）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2004•湖州）如图，H是⊙O的内接锐角△ABC的高线AD、BE的交点，过点A引⊙O的切线，与BE的延长线相交于点P，若AB的长是关于x的方程x²-6x+36（cos²C-cosC+1）=0的实数根．
（1）求：∠C=______度；AB的长等于______

2. 难度：中等

（2004•哈尔滨）如图：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，O₁O₂的延长线交⊙O₂于点A，AB切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C，BE是⊙O₁的直径，过点B作BF_┴O₁P，垂足为F，延长BF交PE于点G．
（1）求证：PB²=PG•PE；
（2）若PF=，tan∠A=，求：O₁O₂的长．

3. 难度：中等

（2010•锦州）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=3，⊙O的半径为5．求BF的长．

4. 难度：中等

（2008•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．

5. 难度：中等

（2004•万州区）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，说明理由；
（2）如果AD，AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，试求直角边BC的长；
（3）试在（1）（2）的基础上，提出一个有价值的问题（不必解答）．

6. 难度：中等

（2004•泰州）如图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，连接CE并延长交AD的延长线于点F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CM•CF；
（3）若CM=，MF=，求BD；
（4）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知△DGH是等边三角形．设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S₁、S₂、S₃，试探究S₁、S₂、S₃之间的等量关系，请直接写出其结论．

7. 难度：中等

（2004•龙岩）如图，已知⊙O₁为△ABC的外接圆，以BC为直径作⊙O₂，交AB的延长线于D，连接CD，且∠BCD=∠A．
（1）求证：CD为⊙O₁的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O₁的直径．

8. 难度：中等

（2004•淮安）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G．
（1）连接CD，若AG=4，DG=2，求CD的长；
（2）过点D作EF∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F．求证：EF与⊙O相切．

9. 难度：中等

（2004•大连）如图，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．
求证：AD•CE=DE•DF；
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分．
①∠CDB=∠CEB；
②AD∥EC；
③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

10. 难度：中等

（2004•无锡）已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

11. 难度：中等

（2004•天津）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．

12. 难度：中等

（2004•郑州）如图，∠BAC=90°，AC=AB，直线l与以AB为直径的圆相切于点B，点E是圆上异于A、B的任意一点．直线AE与l相交于点D．
（1）如果AD=10，BD=6，求DE的长；
（2）连接CE，过E作CE的垂线交直线AB于F．当点E在什么位置时，相应的F位于线段AB上、位于BA的延长线上、位于AB的延长线上（写出结果，不要求证明）．无论点E如何变化，总有BD=BF．请你就上述三种情况任选一种说明理由．

13. 难度：中等

（2004•淄博）已知⊙O的半径为R，⊙P的半径为r（r＜R），且⊙P的圆心P在⊙O上．设C是⊙P上一点，过点C与⊙P相切的直线交⊙O于A、B两点．
（1）若点C在线段OP上，（如图1）．求证：PA•PB=2Rr；
（2）若点C不在线段OP上，但在⊙O内部如图（2）．此时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由；
（3）若点C在⊙O的外部，如图（3）．此时，PA•PB与R，r的关系又如何？请直接写出，不要求给予证明或说明理由．

14. 难度：中等

（2004•宿迁）如图1，已知⊙O₁、⊙O₂内切于点P，⊙O₁的弦AB交⊙O₂于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O₂交于点E．
（Ⅰ）求证：PA•PE=PC•PD；
（Ⅱ）若将题中“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？请说明理由．

15. 难度：中等

（2004•武汉）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂内切于P点，过P点作直线交⊙O₁于A点，交⊙O₂于B点，C为⊙O₁上一点，过B点作⊙O₂的切线交直线AC于Q点．
（1）求证：AC•AQ=AP•AB；
（2）若将两圆内切改为外切，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？______请你画出图形，并证明你的结论．

16. 难度：中等

（2004•内江）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆外公切线，A、B为切点，AB与O₁O₂的延长线交于C点，在AP延长线上有一点E，满足，PE交⊙O₂于D．
（1）求证：AC⊥EC；
（2）求证：PC=EC；
（3）若AP=4，PD=，求的值．

17. 难度：中等

（2004•聊城）请解决下列问题：
（1）如图甲，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在相似三角形？请给予说明；
（2）如图乙，相交于C、P两点，AB是⊙O₁的弦，分别以A、B为端点过P作射线交⊙O₂于A′、B′，图中是否存在分别以AB、A′B′为一边的两个相似三角形？请给予说明．

18. 难度：中等

（2004•丽水）已知⊙O₁与⊙O₂相切于点P，它们的半径分别为R、r．一直线绕P点旋转，与⊙O₁、⊙O₂分别交于点A、B（点P、B不重合），探索规律：
（1）如图1，当⊙O₁与⊙O₂外切时，探求与半径R、r之间的关系式，请证明你的结论；
（2）如图2，当⊙O₁与⊙O₂内切时，第（1）题探求的结论是否成立？为什么？

19. 难度：中等

（2004•乌鲁木齐）如图，已知圆O₁与圆O₂相交于A，B两点，直线O₁A交圆O₁于C，交圆O₂于D，连接CB并延长交圆O₂于E，AF切圆O₁于A，交CE于F．
（1）求证：；
（2）若，圆O₁的半径为2，且∠C=30°，求DE的长．

20. 难度：中等

（2004•天津）已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．

21. 难度：中等

（2004•山西）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A和点B，且点O₁在⊙O₂上，过点A的直线CD分别与⊙O₁、⊙O₂交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O₁、⊙O₂交于点E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求证：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

22. 难度：中等

（2004•济南）已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．
（1）如图1，连接OO′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA•OB的值；
（2）若点C为⊙O上一动点．
①当点C运动到⊙O′时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于A、B两点，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；
②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图3，则OA•OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．

23. 难度：中等

（2004•连云港）（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

24. 难度：中等

（2004•无锡）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

25. 难度：中等

（2004•福州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在△AEF中作正方形A₁B₁C₁D₁，使边A₁B₁在AF上，其余两个顶点C₁、D₁分别在EF和AE上．
（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角三角形（不另添加字母及辅助线）；
（2）求AF的长及正方形A₁B₁C₁D₁的边长；
（3）在（2）的条件下，取出△AEF，将△EC₁D₁沿直线C₁D₁、△C₁FB₁沿直线C₁B₁分别向正方形A₁B₁C₁D₁内折叠，求小正方形A₁B₁C₁D₁未被两个折叠三角覆盖的四边形面积．

26. 难度：中等

（2004•临沂）我们已经知道，如果线段MN被点P分成线段MP和PN，且，那么称线段MN被点P黄金分割，点P叫做线段MN的黄金分割点，MP与MN的比叫做黄金比．通过计算可知黄金比为．若一个矩形的短边与长边之比等于黄金比，则称这个矩形为黄金矩形．已知图中正方形ABCD的边长为1，请你以AD为短边，用尺规作一个黄金矩形，要求保留作图痕迹并简要写出作法，不要求证明．

27. 难度：中等

（2005•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC．
求证：DE=EC．

28. 难度：中等

（2004•济宁）在一次数学活动课上，一位同学提出：“谁能帮我用一副没有刻度的三角板找出线段AB的中点”小华说：“我能做到．我的做法是，用这副三角板任作一条直线MN∥AB；在直线AB、MN的同一侧任取一点P，连接PA、PB，分别交直线MN于C、D；再连接AD、BC，相交于点E；画射线PE交线段AB于点O，点O就是线段AB的中点．”你认为点O是线段AB的中点吗？并说明理由．

29. 难度：中等

（2005•绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．
（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，那么S₁，S₂，S₃之间有什么关系；（不必证明）
（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁，S₂，S₃之间的关系并加以证明；
（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁，S₂，S₃表示，为使S₁，S₂，S₃之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

30. 难度：中等

（2004•郑州）如图，在△ABC中，AD、CE是两条高，连接DE．如果BE=2，EA=3，CE=4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论（要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等），并对其中一个结论给予证明．