2003年全国中考数学试题汇编《一元二次方程》（04）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2003•常州）已知一元二次方程x²-3x-1=0的两个根是x₁、x₂，则x₁+x₂=    ，x₁x₂=    ，=    ．

2. 难度：中等

（2003•大连）某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为    ．

3. 难度：中等

（2003•江西）完成下列配方过程：
x²+2px+1=[x²+2px+    ]+    =[x+    ]²+    ．

4. 难度：中等

（2003•杭州）求函数的最小值，较合适的数学方法应该是    法，当然还可以用    法等方法来解决．

5. 难度：中等

（2003•泰安）已知实数x、y满足x²+4xy+4y²+x+2y-6=0，则x+2y的值为    ．

6. 难度：中等

（2003•青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程x⁴-6x²+5=0”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0…①，解这个方程得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=，x₄=-．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用    法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（2）解方程（x²-x）²-4（x²-x）-12=0时，若设y=x²-x，则原方程可化为    ．

7. 难度：中等

（2003•绵阳）方程组的解是    ．

8. 难度：中等

（2003•上海）方程2+=-x的根是    ．

9. 难度：中等

（2003•河南）点P（m，n）既在反比例函数y=-（x＞0）的图象上，又在一次函数y=-x-2的图象上，则以m，n为根的一元二次方程为    ．

10. 难度：中等

（2003•金华）CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根，则△ABC的面积为    ．

二、解答题

11. 难度：中等

（2003•宁夏）列方程（组）解下列应用题：
（1）一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的？
（2）某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%．从六月起强化管理，产量逐月上升，七月份产量达到648吨．那么该厂六、七两月产量平均增长的百分率是多少？

12. 难度：中等

（2003•新疆）用配方法解方程x²+6x+7=0．

13. 难度：中等

（2003•厦门）阅读下面的例题：
解方程：x²-|x|-2=0
【解析】
（1）当x≥0时，原方程化为x²-x-2=0，解得：x₁=2，x₂=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x²+x-2=0，解得：x₁=1（不合题意，舍去），x₂=-2
∴原方程的根是x₁=2，x₂=-2．
请参照例题解方程x²-|x-3|-3=0，则此方程的根是______．

14. 难度：中等

（2004•无为县）写出一个一元二次方程，不解这个方程，判别它的根的情况．

15. 难度：中等

（2003•肇庆）已知关于x的方程（k²+2）x²+（2k-3）x+1=0，其中k为常数，试分析此方程的根的情况．

16. 难度：中等

（2003•盐城）已知关于x的方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
（2）如果方程的两个实数根x₁、x₂满足x₁=3x₂，求实数m的值．

17. 难度：中等

（2003•绍兴）已知关于x的方程x²-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

18. 难度：中等

（2003•南昌）已知关于x的方程有实数根，求m的取值范围．

19. 难度：中等

（2003•江西）已知关于x的方程x²-m=2x有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

20. 难度：中等

（2003•吉林）已知关于x的方程x²+mx+2m-n=0根的判别式的值为0，1为方程的根．求m、n的值．

21. 难度：中等

（2009•鄂州）已知关于x的方程kx²-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

（2006•舟山）设x₁、x₂是关于x的方程x²-（m-1）x-m=0（m≠0）的两个根，且满足+=-，求m的值．

23. 难度：中等

（2003•泰安）（1）用计算器探索：
①=
②=
③=
由此猜想：=______．
（2）已知关于x的方程x²-2ax+a²-2a+2=0的两个实数根x₁、x₂满足x₁²+x₂²=2，则a的值为______．

24. 难度：中等

（2003•汕头）已知角A是锐角，且tanA、cotA是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）问：角A能否等于45°？请说明你的理由．

25. 难度：中等

（2003•南通）设方程组的解是和，求和y₁•y₂的值．

26. 难度：中等

（2003•茂名）王老师要求学生进行编题．解题训练，其中小聪同学编的练习题是：
设k=3，方程x²-3x+k=0的两个实数根是x₁，x₂，求的值．
小明同学对这道题的解答过程是：
【解析】
∵k=3，∴已知方程是x²-3x+3=0，
又∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=3，
∴=
即=1．
（1）请你针对以上的练习题和解答的正误作出判断，再简述理由；
（2）请你只对小聪同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，改求的值．

27. 难度：中等

（2003•娄底）已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

28. 难度：中等

（2003•荆州）已知：关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k-1=0；其中k为实数．
（1）求证：不论k取什么实数，方程都有两个不同的实根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，且满足2x₁+x₂=3，求实数k的值；

29. 难度：中等

（2003•淮安）已知关于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．
某同学的解答如下：
【解析】
设x₁、x₂是方程的两根，
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-m，x₁x₂=2m-1；
由题意，得x₁²+x₂²=23；
又x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂；
∴m²-2（2m-1）=23．
解之，得m₁=7，m₂=-3，
所以，m的值为7或-3．
上述解答中有错误，请你指出错误之处，并重新给出完整的解答．