2003年全国中考数学试题汇编《二次函数》（04）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2003•深圳）如图，已知A（5，-4），⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相且于点D，
（1）求证过D、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连接BD，求tan∠BDC的值；
（3）点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，
∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值．

2. 难度：中等

（2003•绍兴）已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和．

3. 难度：中等

（2003•上海）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4，求a、c的值．

4. 难度：中等

（2003•汕头）已知抛物线y=-x²+（m+3）x-（m-1）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）

5. 难度：中等

（2003•陕西）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以为半径的圆与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点．
（1）求D点坐标．
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax²+bx+c上，求这个抛物线的解析式．
（3）若⊙A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所求抛物线的顶点？说明理由．

6. 难度：中等

（2003•山西）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．
（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．
（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：
①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．
②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．

7. 难度：中等

（2003•三明）已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长a、na的矩形ABCD各边上运动，设AE=x，四边形EFGH的面积为S．
（1）当n=1、2时，如图②③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=S_矩形ABCD（2）当n=3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），探索S随x增大而变得化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使S=S_矩形ABCD
（3）当n=k（k≥1）时，你所得到的规律和猜测是否成立，请说明理由．
（考生注意：你在本题研究中，如果能发现新的结论，并说明结论正确的理由，将酌情另加3～5分）

8. 难度：中等

（2003•泉州）已知抛物线y=2x²+bx-2经过点A（1，0）．
（1）求b的值；
（2）设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，这样的Q点有几个，并求出PQ的长．

9. 难度：中等

（2003•青海）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0），且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；
（3）求△ABC的面积．

10. 难度：中等

（2003•宁波）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

（2003•南通）已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，-4），B（-1、0），C（-2，5）三点．
（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；
（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标．

12. 难度：中等

（2003•南昌）抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．
①在第一象限内，这条抛物线上有一点P，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△APC与S_△AOC的大小．
②在x轴的上方，这条抛物线上是否存在点Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，请求出点Pn的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

（2003•内蒙古）已知关于x的二次函数y=-x²+（2m+3）x+4-m²的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴的交点C在原点的上方，若A、B两点到原点的距离AO、OB满足4（OB-AO）=3AO•OB．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点M的坐标，并画出函数图象的略图；
（3）求△AMC的面积．

14. 难度：中等

（2003•绵阳）若点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做抛物线的不动点．设抛物线y=ax²+x+2经过点（-1，0）
（1）求这条抛物线的顶点和不动点的坐标；
（2）将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点．证明平移后的抛物线的顶点在直线4x-4y-1=0上．

15. 难度：中等

（2003•茂名）已知抛物线y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常数）
（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）求证：不论k取任何实数，抛物线的顶点都在某一次函数的图象上．并指出此一次函数的解析式；
（3）设此抛物线与y轴的交点为A（0，1），其顶点为B．试问：在x轴上是否存在一点P，使△ABP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简述理由．

16. 难度：中等

（2002•泸州）已知：抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0），b（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标是-4．若x₁，x₂是方程x²-2（m-1）+m²-7=0的两个实数根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

（2003•娄底）已知抛物线的对称轴是x=1，它与直线y=x+k相交于点A（1，-1），与y轴相交于点B（0，3）．求解下列问题：（1）求k的值；（2）求抛物线的解析式；（3）求抛物线的顶点坐标．

18. 难度：中等

（2003•昆明）已知：如图，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P在第一象限，且cos∠OPA=．
（1）求出点P的坐标（一个即可）；
（2）当点P的坐标是多少时，△OPA的面积最大，并求出△OPA面积的最大值（不要求证明）；
（3）当△OPA的面积最大时，求过O、P、A三点的抛物线的解析式．

19. 难度：中等

（2003•荆门）如图，二次函数y=x²经过三点A、B、O，其中O为坐标原点．点A的坐标为（1，1），∠BAO=90°，AB交y轴于点C．
（1）求点C、点B坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A、B两点，且对称轴经过Rt△BAO的外接圆圆心，求该二次函数解析式；
（3）若二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过A、B两点，且与x轴有两个不同的交点，试求出满足此条件的一个二次函数的解析式．

20. 难度：中等

（2003•金华）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程x²+kx+3=0的两根．
（1）请求出A，B两点的坐标；
（2）若点O到BC的距离为，求此二次函数的解析式；
（3）若点P的横坐标为2，且△PAB的外心为M（1，1），试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上．

21. 难度：中等

（2003•江西）抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-4；a＜b＜c．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△AOD与S_△DPC的大小．

22. 难度：中等

（2003•仙桃）B题（油田考生做）如图，直线经过A（1，0），B（0，1）两点，点P是双曲线（x＞0）上任意一点，PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，PM、PN的延长线与直线AB分别交于点E、F．
（1）求证：AF•BE=1；
（2）若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点坐标．

23. 难度：中等

（2003•吉林）如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）．反比例函数y=的图象与AB交于C、D两点．P为双曲线y=上任一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．请分别按（1）、（2）、（3）各自的要求解答问题．
（1）若m+n=10，n为何值时△AOB面积最大，最大值是多少？
（2）若S_△AOC=S_△COD=S_△DOB，求n的值；
（3）在（2）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

24. 难度：中等

（2003•黄石）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：
材料：过抛物线y=ax²（a＞0）的对称轴上一点（0，-）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x²的焦点为（0，）．
问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x²于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．
①求抛物线y=x²的焦点F的坐标；
②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；
③当直线AB过点（-1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．

25. 难度：中等

（2003•黄冈）已知经过A、B、C三点的二次函数图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t取值范围；
（3）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

26. 难度：中等

（2003•河南）已知，如图，在平面直角坐标系中，以BC为直径的⊙M交x轴正半轴于点A、B，交y轴正半轴于点E、F，过点C作CD垂直y轴，垂足为点D，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PE．
（1）求证：∠FAO=∠EAM；
（2）若二次函数y=-x²+px+q的图象经过点B、C、E，且以C为顶点，当点B的横坐标等于2时，四边形OECB的面积是，求这个二次函数的解析式．

27. 难度：中等

（2003•杭州）如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，设∠ABD=α，已知sinα是方程25x²-35x+12=0的一个实根，点E，F分别是BC，DC上的点，EC+CF=8，设BE=x，△AEF的面积等于y．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当E，F两点在什么位置时，y有最小值并求出这个最小值．

28. 难度：中等

（2003•海南）已知抛物线y=ax²+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．

29. 难度：中等

（2003•海淀区）已知：如图，点A在y轴上，⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D（0，3）和点E（0，-1）
（1）求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；
（2）若经过第一、二、三象限的一动直线切⊙A于点P（s，t），与x轴交于点M，连接PA并延长与⊙A交于点Q，设Q点的纵坐标为y，求y关于t的函数关系式，并观察图形写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当y=0时，求切线PM的解析式，并借助函数图象，求出（1）中抛物线在切线PM下方的点的横坐标x的取值范围．

30. 难度：中等

（2003•哈尔滨）已知：抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；
（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．