2003年全国中考数学试题汇编《二次函数》（05）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2003•桂林）如图，AC=6，B是AC上的一点，分别以AB、BC、AC为直径作半圆，过点B作BD⊥AC，交半圆于点D，设以AB为直径的圆的圆心为O₁，半径为r₁；以BC为直径的圆的圆心为O₂，半径为r₂．
（1）求证：BD²=4r₁r₂；
（2）以AC所在的直线为x轴，BD所在直线为y轴建立直角坐标系，如果r₁：r₂=1：2，求经过A、D、C三点的抛物线的函数解析式；
（3）如果（2）所确定的抛物线与以AC为直径的半圆交于另一点E，已知P为上的动点（P与A、E点不重合），连接弦CP交EO₂于F点，设CF=x，CP=y，求y与x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．

2. 难度：中等

（2003•贵阳）已知二次函数的图象过A（-3，0）、B（1，0）两点．
（1）当这个二次函数的图象又过点C（0，3）时，求其解析式．
（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为P，求S_△APC：S_△ABC的值．
（3）如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，S_△AMD：S_△ABD的值确定吗？为什么？

3. 难度：中等

（2003•广西）如图，以A（0，）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO=60°，AD的延长线交x轴于点C．
（1）分别求点E、C的坐标；
（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；
（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．

4. 难度：中等

（2003•甘肃）已知抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0），顶点为D（1，-1）．
（1）确定抛物线的解析式；
（2）直线y=3与抛物线相交于B、C两点（B点在C点左侧），以BC为一边，原点O为另一顶点作平行四边形，设平行四边形的面积为S，求S的值；
（3）若以（2）小题中BC为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形，当平行四边形面积为8时，试确定P点的坐标；
（4）当-2≤x≤4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有请求出，若无请说明理由．

5. 难度：中等

（2003•福州）已知：如图，二次函数y=2x²-2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x²-2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

6. 难度：中等

（2003•大连）如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（，-），B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．

7. 难度：中等

（2003•郴州）如图，抛物线y=2x²-4mx+m²-1经过原点，且对称轴在y轴的右侧与直线y=-x+m+2相交于M、N两点．
（1）求m的值；
（2）求抛物线和直线的解析式；
（3）如果（2）中抛物线的对称轴与直线交于C点，与x轴交于B点，直线与x轴交于A点，P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．请问：点P分别在x轴上方或下方时，是否存在这样的位置，使S_△PAD=S_△ABC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

（2003•常德）如图，O是坐标原点，A是X轴上的一点，C是Y轴上的一点，OB是以A圆心的半圆的直径，BD∥AC交半圆于D，其BD=2，
（1）当A、C的坐标分别为（x，0），（0，y）时，请用x的代数式表示y；
（2）当A点的坐标为（2，0）时，求过C、D两点，顶点在直线x=2上的抛物线的解析式；
（3）在所求的抛物线上是否存在点P，使得S_△POB=2S_△OAD？

9. 难度：中等

（2003•长沙）设抛物线C的解析式为：y=x²-2kx+（+k）k，k为实数．
（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；
（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；
（3）在第一象限有任意两圆O₁、O₂相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（4）已知一直线L₁与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．

10. 难度：中等

（2003•滨州）在平面直角坐标系中（单位长度：1cm），A、B两点的坐标分别为（-4，0），（2，0），点P从点A开始以2cm/s的速度沿折线AOy运动，同时点Q从点B开始以1cm/s的速度沿折线BOy运动．
（1）在运动开始后的每一时刻一定存在以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形相似吗？以点A、O、P为顶点的三角形和以点B、O、Q为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由．
（2）试判断时，以点A为圆心，AP为半径的圆与以点B为圆心、BQ半径的圆的位置关系；除此之外⊙A与⊙B还有其他位置关系吗？如果有，请求出t的取值范围．
（3）请你选定某一时刻，求出经过三点A、B、P的抛物线的解析式．

11. 难度：中等

（2003•北京）已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12. 难度：中等

（2003•吉林）如图，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a＞b，且a、b是方程的两个根．P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS．点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm²．
（1）求a和b；
（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4，y与x之间的函数关系式；
（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象．

13. 难度：中等

（2003•青岛）巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．
（1）求BC、AD的长度；
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

14. 难度：中等

（2003•徐州）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE，得AE=______；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．