2003年全国中考数学试题汇编《四边形》（04）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2003•上海）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么阴影部分的面积为    ．

2. 难度：中等

（2003•汕头）边长为1的正方形的一个顶点到其它三个顶点的距离之和是    ．

3. 难度：中等

（2003•荆门）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=6cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形的边长为    cm．

4. 难度：中等

（2003•天津）要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是    （填上一个正确的结论即可）．

5. 难度：中等

（2003•资阳）如图，已知四边形ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用2003个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是    ．

6. 难度：中等

（2003•岳阳）一等腰梯形上底和下底的长分别是2cm、8cm，腰与底边成45°的角，则这个梯形的面积为    cm²．

7. 难度：中等

（2003•河南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，CD=BC，E是BA，CD的延长线的交点，若∠E=40°，则∠ACD=    度．

8. 难度：中等

（2004•无锡）已知梯形的中位线长为6cm，高为4cm，则此梯形的面积为    cm²．

9. 难度：中等

（2003•盐城）已知梯形的上底长为3cm，中位线长为6cm，则下底长为    cm．

10. 难度：中等

（2003•天津）已知一个梯形的面积为10cm²，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于    cm．

11. 难度：中等

（2003•苏州）已知梯形的上底长6cm，下底长10cm，则该梯形的中位线长     cm．

12. 难度：中等

（2003•十堰）将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的    ．

13. 难度：中等

（2003•三明）如图：平行四边形ABCD中，BC边上的高等于h，点E是对角线AC上靠近点C的三等分点，它到BC边上的距离等于h′，则h′：h=    ．

14. 难度：中等

（2003•绵阳）如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC相交于F，若，则=    ．

15. 难度：中等

（2003•上海）正方形ABCD的边长为1．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=    ．

二、解答题

16. 难度：中等

（2003•哈尔滨）已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x²-2mx+（m-）²+=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．

17. 难度：中等

（2003•南宁）如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t₁，t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

18. 难度：中等

（2003•娄底）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F是BC边上的三等分点，求证：AF=DE．

19. 难度：中等

（2003•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？

20. 难度：中等

（2003•杭州）如图，EF为梯形ABCD的中位线，AH平分∠DAB交EF于M，延长DM交AB于N．
求证：△ADN是等腰三角形．

21. 难度：中等

（2003•江西）如图，已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连接GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点．
（1）请写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；
（2）问FE、GH、BC有何位置关系？试证明你的结论．

22. 难度：中等

（2003•广西）如图，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长．

23. 难度：中等

（2003•安徽）附加题：
如图，在五边形A₁A₂A₃A₄A₅中，B₁是A₁对边A₃A₄的中点，连接A₁B₁，我们称A₁B₁是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．

24. 难度：中等

（2003•宁夏）将一个正六边形的纸片对折，并完全重合．那么得到的图形是几边形？它的内角和（按一层计算）是多少度？

25. 难度：中等

（2003•陕西）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下-丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数	3	4	5	6	…
正多边形每个内角的度数					…

（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

26. 难度：中等

（2005•浙江）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．

27. 难度：中等

（2004•无为县）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F．请写出图中三对全等的三角形：______；______；______；请你自选其中的一对加以证明．

28. 难度：中等

（2003•盐城）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，求BD的长．

29. 难度：中等

（2003•烟台）如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．

30. 难度：中等

（2003•湘潭）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．