2003年全国中考数学试题汇编《四边形》（05）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2003•苏州）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F．
（1）求证：CD=AF；
（2）若BC=2CD，求证：∠F=∠BCF．

2. 难度：中等

（2003•常州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上
图中有______对四边形面积相等；
他们是______．

3. 难度：中等

（2003•吉林）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是______形，根据数学道理是：______；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是______形，根据的数学道理是：______．

4. 难度：中等

（2003•汕头）如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，P、Q分别为AB、CD上的点，且AP=CQ，求证：PD=QB．

5. 难度：中等

（2003•北京）如图所示，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．请你以F为一个端点，和图中已知标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接______；
（2）猜想：______=______；
（3）证明．

6. 难度：中等

（2003•舟山）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．
求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．

7. 难度：中等

（2003•宜昌）已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD=120°，求∠ABD的度数．

8. 难度：中等

（2003•无锡）已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：AD²=DE•DB；
（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x²-3mx+2m²=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为，求EG的长．

9. 难度：中等

（2008•聊城）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

10. 难度：中等

（2003•淮安）已知：如图，点D在△ABC的边BC上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：△AED≌△DFA；
（2）若AD平分∠BAC．求证：四边形AEDF是菱形．

11. 难度：中等

（2003•肇庆）如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．
求证：（1）BC=BF；（2）GB•DC=DE•BC．

12. 难度：中等

（2003•青岛）如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．

13. 难度：中等

（2003•昆明）已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延长线相交于点F，求证：S_矩形ABCD=S_△BCF．

14. 难度：中等

（2003•吉林）如图，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a＞b，且a、b是方程的两个根．P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS．点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=xcm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm²．
（1）求a和b；
（2）分别求出0≤x≤2和2≤x≤4，y与x之间的函数关系式；
（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象．

15. 难度：中等

（2003•厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．

16. 难度：中等

（2007•玉溪）正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD和FH都在直线l上，O₁、O₂分别是正方形的中心，线段O₁O₂的长叫做两个正方形的中心距，当中心O₂在直线l上平移时，正方形EFGH也随之平移（其形状大小没有变化）．（所谓正方形的中心，是指正方形两条对角线的交点；两个正方形的公共点，是指两个正方形边的公共点）
（1）当中心O₂在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O₁O₂=______；
（2）设计表格完成问题：随着中心O₂在直线l上平移，两个正方形的公共点的个数的变化情况和相应的中心距的值或取值范围．

17. 难度：中等

（2003•镇江）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．

18. 难度：中等

（2003•盐城）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转n°（0＜n＜90），得正方形AB₁C₁D₁，B₁C₁交CD于点E．
（1）求证：B₁E=DE；
（2）简要说明四边形AB₁ED存在一个内切圆；
（3）若n=30（度），AB=，求四边形AB₁ED内切圆的半径r．

19. 难度：中等

（2003•新疆）已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH=FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．

20. 难度：中等

（2003•泰安）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为______．

21. 难度：中等

（2003•宁夏）两条线段AB和CD把正方形分成形状相同、面积相等的四部分．现给出四种分法，如图所示．请你从中找出线段AB、CD的位置及关系存在的规律．符合这种规律的线段共有多少组？（不要添加辅助线和其它字母）

22. 难度：中等

（2002•泸州）如图，点C是线段BA延长线上的一点，正方形ACDE和正方形ABGF在AB的同侧．求证：CF=BE．

23. 难度：中等

（2003•安徽）如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．

24. 难度：中等

（2009•湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

25. 难度：中等

（2005•乌兰察布）图1是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A₁的直线分别与BC₁、BE交于点M、N，且图1被直线MN分成面积相等的上、下两部分．

（1）求的值；
（2）求MB、NB的长；
（3）将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，求点M、N间的距离．

26. 难度：中等

（2003•陕西）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面积．

27. 难度：中等

（2003•黄石）梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所在直线交BC于N．在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题，并证明这个命题．
①AD=BC；②MN⊥BC；③AM=DM．

28. 难度：中等

（2003•广东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC，BD⊥DC，求∠C的度数．

29. 难度：中等

（2003•甘肃）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A=90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）．设BP为x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

30. 难度：中等

（2003•肇庆）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠D=90°，DC=6cm，BC=8cm，∠B=60°，求梯形ABCD的周长和面积．