2003年全国中考数学试题汇编《命题与证明》（01）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2003•资阳）已知下列命题：①两条对角线相等的四边形是矩形；②圆的切线垂直于半径；③圆周角等于圆心角的一半；④若半径分别为3，1的两圆相切，则两圆的圆心距为2或4．其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

（2003•镇江）给出下列命题：（1）等边三角形的中心角是60°；（2）如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等；（3）到已知角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（4）正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

3. 难度：中等

（2003•宜昌）下列三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

4. 难度：中等

（2003•盐城）下列四个命题：
①三个角对应相等的两个三角形是全等三角形
②到已知角两边距离相等的点的轨迹，是这个角的角平分线
③用全等的正三角形，可以进行平面镶嵌
④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中错误的命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

（2003•泰州）下列四个命题中，正确的命题有（ ）
①三角形中至少有一个角不小于60度；
②用边长相等的正五边形与正六边形的组合能镶嵌成一个平面；
③如果a＞4，那么不等式（a-4）x＞4-a的解集是x＞-1；
④Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，那么r=．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

6. 难度：中等

（2003•深圳）下列命题正确的是（ ）
A．3x-7＞0的解集为x＞
B．关于x的方程ax=b的解是x=
C．9的平方根是3
D．（）与（）互为倒数

7. 难度：中等

（2003•山西）命题“a、b是实数，若a＞b，则a²＞b²”
若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，以下四种改法：
（1）a、b是实数，若a＞b＞0，则a²＞b²；
（2）a、b是实数，若a＞b且a+b＞0，则a²＞b²
（3）a、b是实数，若a＜b＜0，则a²＞b²
（4）a、b是实数，若a＜b且a+b＜0，则a²＞b²
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

（2003•南宁）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形

9. 难度：中等

（2003•茂名）下列各命题中，属假命题的是（ ）
A．若a-b=0，则a=b=0
B．若a-b＞0，则a＞b
C．若a-b＜0，则a＜b
D．若a-b≠0，则a≠b

10. 难度：中等

（2003•娄底）下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③等腰梯形的对角线相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中的真命题是（ ）
A．①②
B．①②③
C．②④
D．②③④

11. 难度：中等

（2003•荆州）以下命题：①三角形的外角中至少有2个钝角；②对角钱垂直且相等的四边形是菱形；③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；④两个全等三角形的面积相等．其中的真命题是（ ）
A．①③
B．①④
C．②④
D．①③④

12. 难度：中等

（2003•郴州）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．长度相等的弧所对的圆心角相等
B．垂直于圆的半径的直线是该圆的切线
C．过弦的中点的直线必过圆心
D．三角形的外心到三个顶点的距离相等

13. 难度：中等

（2003•常德）命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A．经过半径外端点的直线是圆的切线
B．垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

14. 难度：中等

（2003•长沙）下列命题中，不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
C．等腰三角形同一底上的两个底角相等
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

15. 难度：中等

（2003•镇江）已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（ ）
A．86°
B．76°
C．48°
D．24°

16. 难度：中等

（2003•南昌）将四个相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有（ ）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种

17. 难度：中等

（2002•泸州）已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ）
A．3瓶
B．4瓶
C．5瓶
D．6瓶

二、填空题

18. 难度：中等

（2003•新疆）在△ABC和△ADC中，下列三个论断（1）AB=AD、（2）∠BAC=∠DAC、（3）BC=DC，将其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论写出一个证明题    ．

19. 难度：中等

（2003•无锡）命题“如果a=b，那么a²=b²”的逆命题是    ．

20. 难度：中等

（2003•海南）一次数学测试，满分为100分．测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分．那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的，②至少有一人说错了．其中真命题是    （用序号①、②填写）．

三、解答题

21. 难度：中等

（2003•淮安）下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．
现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．
（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？
（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表．
赢法一：

	“布”赢 “锤子”	“锤子”赢“剪子”	“剪子”赢“布”
赢的次数

赢法二：

	“布”赢 “锤子”	“锤子”赢“剪子”	“剪子”赢“布”
赢的次数

赢法三：

	“布”赢 “锤子”	“锤子”赢“剪子”	“剪子”赢“布”
赢的次数

22. 难度：中等

（2003•安徽）附加题：
要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每所学校至少要分到一个名额．
（1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所；
（2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同；
（3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校．