1. 难度:中等 | |
(2003•天津)已知关于x的方程x2-(q+p+1)x+p=0(q≥0)的两个实数根为α、β,且α≤β. (1)试用含有α、β的代数式表示p、q; (2)求证:α≤1≤β; (3)若以α、β为坐标的点M(α、β)在△ABC的三条边上运动,且△ABC顶点的坐标分别为A(1,2),B(,1),C(1,1),问是否存在点M,使p+q=?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. |
2. 难度:中等 | |
(2003•镇江)已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根. (1)求m的值及AC、BC的长(BC>AC); (2)在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出CD的长;若不存在,请说明理由. |
3. 难度:中等 | |
(2003•随州)课本上有这样一题:已知,如图(1),O点在△ABC内部,连AO、BO、CO,A′、B′、C′分别在AO、BO、CO上,且AB∥A′B′、BC∥B′C′. 求证:△OAC∽△OA′C′.若将这题图中的O点移至△ABC外,如图(2),其它条件不变,题中要求证的结论成立吗? (1)在图(2)基础上画出相应的图形,观察并回答:成立(填成立或不成立). (2)证明你(1)中观察到的结论. |
4. 难度:中等 | |
(2003•徐州)已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y. (1)用含y的代数式表示AE,得AE=______; (2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围; (3)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值. |
5. 难度:中等 | |
(2003•厦门)如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D. (1)设弧BC的长为m1,弧OD的长为m2,求证:m1=2m2; (2)若BD与⊙O1相切,求证:BC=AD. |
6. 难度:中等 | |
(2003•绍兴)已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,按以下要求解答问题: (1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA,OB交于点C,D. ①在图甲中,证明:PC=PD; ②在图乙中,点G是CD与OP的交点,且PG=PD,求△POD与△PDG的面积之比; (2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,一直角边与边OB交于点D,OD=1,另一直角边与直线OA,直线OB分别交于点C,E,使以P,D,E为顶点的三角形与△OCD相似,在图丙中作出图形,试求OP的长. |
7. 难度:中等 | |
(2003•三明)已知:如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,且BC=a,AB=c,CD=h,AD=q,DB=p.求证:h2=p•q,a2=p•c. |
8. 难度:中等 | |
(2003•南通)已知:如图,D是AC上一点,BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2. (1)图中哪个三角形与△FAD全等?证明你的结论; (2)探索线段BF、FG、EF之间的关系,并说明理由. |
9. 难度:中等 | |
(2003•内蒙古)如图,在△EAD中,∠EAD=90°,AC是高,且∠BAE=∠D. 求证:BD•EC=AB•AC. |
10. 难度:中等 | |
(2003•绵阳)已知:如图,D为△ABC的边AC上一点,F为AB延长线上一点,DF交BC于E. (1)若E是DF的中点,CD=BF,试判定△ABC的形状. (2)若AC•DE=AB•EF,证明:CD=BF. |
11. 难度:中等 | |
(2003•昆明)操作:如图,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角板的直角顶点与点P重合(含30度角的直角三角板),并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E. 探究:①观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似,写出你的结论,并说明理由; ②当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BPC的周长比和面积比分别是多少? |
12. 难度:中等 | |
(2003•金华)如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x. (1)当x为何值时,PQ∥BC; (2)当,求的值; (3)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由. |
13. 难度:中等 | |
(2003•常德)如图1,D是△ABC的BC边上的中点,过点D的一条直线交AC于F,交BA的延长线于E,AG∥BC交EF于G,我们可以证明EG•DC=ED•AG成立(不要求考生证明). (1)如图2,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则EG•DC=ED•AG还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说出理由; (2)根据图2,请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明; (3)如图3,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的反向延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则(2)得到的结论是否成立? |
14. 难度:中等 | |
(2003•长沙)如图,在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C. (1)求证:△ABF∽△EAD; (2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长; (3)在(1)(2)的条件下,若AD=3,求BF的长.(计算结果可含根号) |
15. 难度:中等 | |
(2003•安徽)(创新学习)如图,等腰三角形与正三角形的形状有差异,我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”.在研究“正度”时,应保证相似三角形的“正度”相等. 设等腰三角形的底和腰分别为a,b,底角和顶角分别为α,β.要求“正度”的值是非负数. 同学甲认为:可用式子|a-b|来表示“正度”,|a-b|的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形; 同学乙认为:可用式子|α-β|来表示“正度”,|α-β|的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形. 探究:(1)他们的方案哪个较合理,为什么? (2)对你认为不够合理的方案,请加以改进(给出式子即可); (3)请再给出一种衡量“正度”的表达式. |
16. 难度:中等 | |
(2003•桂林)为防水患,在漓江上游修筑了防洪堤,其横截面为一梯形(如图所示),堤的上底宽AD和堤高DF都是6米,其中∠B=∠CDF. (1)求证:△ABE∽△CDF; (2)如果tanB=2,求堤的下底BC的长. |