2003年全国中考数学试题汇编《锐角三角函数》（03）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

（2003•广东）若∠A是锐角，cosA=，则∠A=    度．

2. 难度：中等

（2003•镇江）若∠α的余角为38°，则∠α=    度，sinα=    ．（结果保留四个有效数字）．

3. 难度：中等

（2003•桂林）用计算器计算：cos40°=    ．

4. 难度：中等

（2003•海南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，已知EC=1，cosB=，则这个菱形的面积是    ．

5. 难度：中等

（2003•海淀区）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是    cm²．

6. 难度：中等

（2003•随州）如图，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB=14米，CD为中柱，则上弦AC的长是    米（用∠A的三角函数表示）．

7. 难度：中等

（2003•荆门）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是    ．

8. 难度：中等

（2003•荆门）某风景区的改造中，需测量湖两岸的游船码头A、B间的距离，设计人员由码头A沿与AB垂直方向前进500米到达C处（如图），测得∠ACB=55°，用计算器计算两个码头间的距离AB=    米（精确到米）．

9. 难度：中等

（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为    m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）

10. 难度：中等

（2003•湘潭）如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为    米（精确到0.1米）．

11. 难度：中等

（2003•绍兴）若某人沿坡度ⅰ=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高    m．

12. 难度：中等

（2003•陕西）如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是    ．

13. 难度：中等

（2003•宁夏）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵树间的斜坡距离为    米．

14. 难度：中等

（2003•烟台）升国旗时，某同学站在离旗杆底部（DE）24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端B时，该同学视线的仰角（∠BAC）恰为30°，若双眼离地面（AD）1.5米，则旗杆的高度为    米（结果保留3位小数）．

15. 难度：中等

（2003•黑龙江）如图，某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为5米，则旗杆AB的高度约为    米（精确到1米，取1.73）．

16. 难度：中等

（2003•河南）如图，为了测量河对岸的旗杆AB的高度，在点C处测得旗杆顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进5米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，则旗杆AB的高度是    米．

17. 难度：中等

（2006•达州）如图，B、C是洲河岸边两点，A是河对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=200米，则点A到岸边BC的距离是    米．

18. 难度：中等

（2003•南通）一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处，如图所示，上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是    海里（结果保留根号）．

19. 难度：中等

（2003•仙桃）如图，A市东偏北60°方向有一旅游景点M，在A市东偏北30°的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西15°，则景点M到公路AC的距离MN为    米（结果保留根号）．

二、解答题

20. 难度：中等

（2003•哈尔滨）当x=sin45°+tan60°时，先将代数式化简后再求值．

21. 难度：中等

（2003•汕头）已知角A是锐角，且tanA、cotA是关于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的两个实数根．
（1）求k的值；
（2）问：角A能否等于45°？请说明你的理由．

22. 难度：中等

（2003•哈尔滨）已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于x的方程x²-2mx+（m-）²+=0的两个根．
（1）当m=2和m＞2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由．
（2）若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的长；
（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD．

23. 难度：中等

（2003•十堰）已知二次函数y=ax²-5ax+b（a≠0）与x轴有两个交点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴交于点C，其中0＜x₁＜x₂，线段AB的长为3，O为坐标系原点，且有tan∠OAC=2，tan∠OBC=，求此二次函数解析式．

24. 难度：中等

（2006•兰州）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．
（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；
（2）求证：△OPN∽△PMN；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

25. 难度：中等

（2003•温州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．
（1）求证：△ADE∽△BCE；
（2）若CD=OC，求sinB的值．

26. 难度：中等

（2003•内蒙古）如图，已知AB是⊙O直径，AB=4，∠CAB=30°，点C在⊙O上，∠ABD=120°，且CD⊥BD，AD交⊙O于点E．
（1）求BD的长；
（2）求证：CD²=DE•DA．

27. 难度：中等

（2002•泸州）已知：如图，△ABC内接于⊙O，CE是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）若AC=3cm，BC=6cm，sin∠ABC=，求⊙O的面积．

28. 难度：中等

（2003•黄冈）已知：如图，C为半圆上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=，tan∠ECB=，求PB的长．

29. 难度：中等

（2003•杭州）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．

30. 难度：中等

（2003•贵阳）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直径．