2003年全国中考数学试题汇编《锐角三角函数》（04）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2003•十堰）如图，ABCD为菱形，∠ABC=β，有一个半径为r的⊙O，圆心O在菱形的内部，且到B点的距离为a，当圆心O在菱形内部运动时，⊙O的半径和圆心到B点的距离a都发生变化．
（1）当满足什么条件时，圆心O在菱形内部运动时⊙O与菱形的两边BA、BC（或BA、BC的延长线）都相切？
（2）当圆心O在菱形内部运动时，请你求出满足什么条件时⊙O与菱形的两边BA、BC（或BA、BC的延长线）都相交、相离的所有情况．

2. 难度：中等

（2003•随州）已知，⊙O与直线l相切于点C，直径AB∥l，P是l上C点左边（不包括C点）一动点，AP交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE的延长线交l于F．
（1）当PC＜AO时，如图1，线段PF与FC的大小关系是______．结合图1，证明你的结论；
（2）当PC＞AO时，AP的反向延长线交⊙O于D，其它条件不变，如图2，（1）中所得结论是否仍然成立？
答：______；（不证明）
（3）如图2，当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=时，求PF的长．

3. 难度：中等

（2003•黄石）如图，过Rt△ABC的直角顶点C作圆O，圆O与△ABC的两边AB、BC分别相切于D、C，并交AC边于E．在优弧DE上任取一点F，连接FE、FD，若BC=a，cos∠EFD=．
①求证：AD=BD；
②试求∠EDA的大小；
③计算圆O的面积．

4. 难度：中等

（2003•泰州）已知：如图，⊙O与⊙O₁内切于点A，AO是⊙O₁的直径，⊙O的弦AC交⊙O₁于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E．
（1）求证：DF与⊙O₁相切；
（2）求证：2AB²=AD•AF；
（3）若AB=，cos∠DBA=，求AF和AD的长．

5. 难度：中等

（2003•贵阳）如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

6. 难度：中等

（2003•北京）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．
（1）求证：AF=DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求△ABC的面积．

7. 难度：中等

（2003•天津）已知，如图⊙O₁与⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，B、C为切点．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）若r₁、r₂分别为⊙O₁、⊙O₂的半径，且r₁=2r₂．求的值．

8. 难度：中等

（2003•金华）如图，已知边长为2的正三角形ABC沿着直线l滚动．
（1）当△ABC滚动一周到△A₁B₁C₁的位置，此时A点运动的路程为______；约为______；（精确到0.1，π=3.14…）
（2）设△ABC滚动240°时，C点的位置为C′，△ABC滚动480°时，A点的位置为A′．请你利用三角函数中正切的两角和公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），求出∠CAC′+∠CAA′的度数．

9. 难度：中等

（2003•宜昌）如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．
（1）请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠AOB=120°，OA=4米，请求出石拱桥的高度．

10. 难度：中等

（2003•新疆）（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”）
若∠α=45°，则sinα______cosα；若∠α＜45°，则sinα______cosα；若∠α＞45°，则sinα______cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．

11. 难度：中等

（2003•镇江）计算：．

12. 难度：中等

（2003•泰州）计算：．

13. 难度：中等

（2003•南通）（1）计算：-9+5×（-6）-（-4）²÷（-8）
（2）计算：tan60°•sin60°-cot30°•tan45°

14. 难度：中等

（2003•吉林）计算cos²45°+tan60°•cos30°-3tan²30°+4sin²30°

15. 难度：中等

（2003•甘肃）化简：sin90°+sin30°+tan0°+cos60°-tan45°-cos0°+cot90°

16. 难度：中等

（2003•常州）不用计算器求值：．

17. 难度：中等

（2003•资阳）如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=，BD=3．
（1）请根据下面求cosA的解答过程，在横线上填上适当的结论，使解答正确完整，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°∴AC=______cosA，______=AC•cosA
由已知AC=6，BD=3，∴=AB cosA=（AD+BD）cosA=（cosA+3）cosA，设t=cosA，则t＞0，且上式可化为t²+______

18. 难度：中等

（2003•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积．

19. 难度：中等

（2003•南京）如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离．

20. 难度：中等

（2003•内蒙古）如图，已知AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC=，∠C=90°，求BC的长及△ABC外接圆直径．

21. 难度：中等

（2003•荆门）（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=；
（2）在△ABC中，AB=，AC=，∠B=45°，问满足这样的△ABC有几个在图2中作出来（不写作法，不述理由）并利用（1）的结论求出∠ACB的大小．

22. 难度：中等

（2003•海南）如图，在Rt△ABC中，a、b分别是∠A、∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a、∠B，就可以求出其余三个未知元素b、c、∠A．
（1）求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程；
（2）请你分别给出a、∠B的一个具体数值，然后按照（1）中的思路，求出b、c、∠A的值．

23. 难度：中等

（2003•广州）已知△ABC中，∠C=90°，AC=m，∠BAC=α（如图），求△ABC的面积．（用α的三角函数及m表示）

24. 难度：中等

（2003•甘肃）如图，△ABC中，∠C=90°，CD是高，已知BC=10cm，∠B=53° 6'，求CD、AC、AB（精确到1cm）．（sin53°6'=0.7997；cos53°6'=0.6004；tan53°6'=1.3319；cot53°6'=0.7508）

25. 难度：中等

（2003•新疆）某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，BC=60米，∠A=36度．
（1）若入口E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口E到C点的最短路线，并求出最短路线CE的长．（保留整数）
（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为50元/米，水渠路线应如何设计才能使造价最低，请你画出水渠路线，并求出最低造价．

26. 难度：中等

（2003•苏州）苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线．AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，约为2.34米，倾角约为2° 48'，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）

27. 难度：中等

（2003•淮安）如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干千米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC=48°，求BC的长．（借助计算器，精确到0.1米）

28. 难度：中等

（2003•大连）如图，在离地面高度6米的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成61°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）

29. 难度：中等

（2003•宜昌）（1）下面是明明同学的作业中，对“已知关于x方程x²+kx+k²-k+2=0，判别这个方程根的情况．”一题的解答过程，请你判断其是否正确，若有错误，请你写出正确解答．
【解析】
△=（k）²-4×1×（k²-k+2）
=-k²+4k-8
=（k-2）²+4
∵（k-2）²≥0，4＞0，∴△=（k-2）²+4＞0
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）如图，一防洪拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC=3米，坝高BE=6米，坡角α为45°，坡角β为63°，求横断面（梯形ABCD）的面积．

30. 难度：中等

（2003•盐城）如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现把它改成坡比为1：1.5的斜坡AD．求DB的长（结果保留根号）．