2002年全国中考数学试题汇编《圆》（12）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2002•扬州）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为D，CE切⊙O于点F，交AB的延长线于点E，求证：EF•EC=EO•ED．

2. 难度：中等

（2002•烟台）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．
（1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）
（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC延长线于点M（请补完整图形），试问．ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的长．（第（1）问中的结论可直接利用）

3. 难度：中等

（2002•无锡）已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D．如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x²-3（r-2）x+r²-4=0的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．

4. 难度：中等

（2002•潍坊）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O的直径；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

5. 难度：中等

（2002•曲靖）已知：如图，⊙O的直径AB等于4，以OA为直径作⊙O₁，BD切⊙O₁于C，交⊙O于D，连接AC、OC．
（1）求tan∠CAO的值；（2）求BD的长．

6. 难度：中等

（2002•宁夏）用两种方法解答：
如图，矩形ABCD外切于半圆，AD与半圆相切于F，BC是半圆的直径，O为圆心，且BC=10cm，对角线AC交半圆于P，PE⊥BC于E．求P到BC的距离．

7. 难度：中等

（2002•龙岩）已知，如图，D是线段AB上的点，以BD为直径作⊙O，AP切⊙O于E，BC⊥AF于C，连接DE、BE．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）若D是AB中点，⊙O直径BD=，求DE的长．

8. 难度：中等

（2002•连云港）已知：如图1，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD²=PB•PC，直线AD交⊙O于E点．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：AB•AC=AD•AE；
（3）若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”（如图2），则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

9. 难度：中等

（2002•丽水）如图，在⊙O中，直径BC为10，点A是⊙O上的一个点，∠ABC的平分线交⊙O于点E，交AC于点F．过点E作⊙O的切线，交BC的延长线于虑D，连接CE．
（1）求证：∠ACE=∠DEC′；
（2）若AB=AE，求AF的长；
（3）如果点A由点B出发，在⊙O的圆周上运动，当点A在什么位置时，AE与BD互相平行？

10. 难度：中等

（2002•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的半圆交BC于D，过D作圆的切线交AC于E．
求证：（1）AE=CE；
（2）CD•CB=4DE²．

11. 难度：中等

（2002•荆州）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC和AD的延长线相交于点E，且AD⊥PD．
（1）求证：AB=AE；
（2）当AB：BP为何值时，△ABE为等边三角形并说明理由．

12. 难度：中等

（2002•嘉兴）如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；
（3）设CD=a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．

13. 难度：中等

（2002•济南）（1）在生活中需测量一些球的足球、篮球）的直径．某校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法：如图，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线DA、CB分别与球相切于点E、F，则EF即为球的直径．若测得AB的长为41.5cm，∠ABC=37°．请你计算出球的直径（精确到1cm）；





（2）有一特殊材料制成的质量为30克的泥块，现把它切开为大小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克．若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量．

14. 难度：中等

（2002•济南）如图，已知AB=AC+BD，∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC=a，BD=b（a≤b）．
（1）求⊙P的半径r；
（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；
（3）设a=2，b=4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π？请说出你的结论，并给出证明．

15. 难度：中等

（2002•河南）已知，如图，△ABC内接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O₁相交于点D，直线AD交⊙O₂于点F，交CB的延长线于点G．
求证：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

16. 难度：中等

（2002•达州）已知：如图，两个以O为圆心的同心圆，AB是大圆的直径，弦BC切小圆于点D，CE⊥AB，垂足为E，大圆的直径为25，小圆的直径为15米．求AE的长．

17. 难度：中等

（2002•崇文区）已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：△PBD∽△PEC；
（2）若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O半径的长．

18. 难度：中等

（2002•朝阳区）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______

19. 难度：中等

（2002•滨州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，以AC直径的⊙O交AB于D，∠B的平分线分别交AC、CD于E、F．
（1）求证：CE=CF；
（2）若BC=6，AD=，求BD的长；
（3）求sinA的值．

20. 难度：中等

（2004•日照）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；
（3）求sin∠PCA的值．

21. 难度：中等

（2002•浙江）如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

22. 难度：中等

（2002•湛江）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立？（要求画出示意图并说明理由）
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG²=BF•BO的正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG²=BF•BO的7个结论）

23. 难度：中等

（2002•盐城）已知：如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延长线于D，连接EC并延长交⊙O于G，
（1）求证：AE是⊙B的切线；
（2）求证：EG平分∠AEF；
（3）若M为AO上一点，且GM∥BE，求证：GM等于⊙O的半径．

24. 难度：中等

（2002•咸宁）已知：如图甲，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAP=∠B，则结论“AP与⊙O相切于点A”成立．
（1）若把条件“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”，如图乙，其它条件不变，那么结论“AP与⊙O相切于点A”仍成立吗？请证明你的判断；
（2）在（1）的条件下，若D为弧AB上的一点，且弧AC=弧AD，过B、D两点的直线交PA于点E．求证：AB•DE=AC•AE．

25. 难度：中等

（2002•武汉）如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

26. 难度：中等

（2002•三明）如图，⊙O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上运动（点O、B除外），CP的延长线交⊙O于点D，在OB的延长线上取点E，使ED=EP．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当OC=2，ED=2时，求∠E的正切值tanE和图中阴影部分的面积S（结果保留无理数）．

27. 难度：中等

（2002•宁德）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD于D，AC平分∠DAB．
求证：CD是⊙O的切线．

28. 难度：中等

（2002•南宁）如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．

29. 难度：中等

（2002•南京）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，O₁在⊙O₂上，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于B，延长BO₁、CA交于点P、PB与⊙O₁交于点D．
（1）求证：AC是⊙O₁的切线；
（2）连接AD、O₁C，求证：AD∥O₁C；
（3）如果PD=1，⊙O₁的半径为2，求BC的长．

30. 难度：中等

（2002•内江）如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）；
（3）若⊙O直径为d，则．