2002年全国中考数学试题汇编《图形的相似》（05）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2002•济南）如图，已知AB=AC+BD，∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC=a，BD=b（a≤b）．
（1）求⊙P的半径r；
（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；
（3）设a=2，b=4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π？请说出你的结论，并给出证明．

2. 难度：中等

（2002•河南）已知，如图，△ABC内接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O₁相交于点D，直线AD交⊙O₂于点F，交CB的延长线于点G．
求证：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

3. 难度：中等

（2002•达州）已知：如图，两个以O为圆心的同心圆，AB是大圆的直径，弦BC切小圆于点D，CE⊥AB，垂足为E，大圆的直径为25，小圆的直径为15米．求AE的长．

4. 难度：中等

（2002•崇文区）已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：△PBD∽△PEC；
（2）若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O半径的长．

5. 难度：中等

（2002•朝阳区）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______

6. 难度：中等

（2002•浙江）如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

7. 难度：中等

（2002•湛江）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若点C在劣弧上运动，其他条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG²=BF•BO成立？（要求画出示意图并说明理由）
（3）在满足问题（2）的条件下，你还能推出哪些形如BG²=BF•BO的正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出不包括BG²=BF•BO的7个结论）

8. 难度：中等

（2002•咸宁）已知：如图甲，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAP=∠B，则结论“AP与⊙O相切于点A”成立．
（1）若把条件“AB为直径”改为“AB为非直径的弦”，如图乙，其它条件不变，那么结论“AP与⊙O相切于点A”仍成立吗？请证明你的判断；
（2）在（1）的条件下，若D为弧AB上的一点，且弧AC=弧AD，过B、D两点的直线交PA于点E．求证：AB•DE=AC•AE．

9. 难度：中等

（2002•内江）如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为上一点，且=，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）；
（3）若⊙O直径为d，则．

10. 难度：中等

（2002•济南）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？
（2）当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD²=DE•DF．为什么？

11. 难度：中等

（2002•海淀区）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点．
（1）求证：CD与⊙O相切于点E；
（2）若CE•DE=，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．

12. 难度：中等

（2002•包头）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥CD，BC⊥CD，且AD+BC=AB
（1）求证：⊙O与CD相切；
（2）若CD=3，求AD•BC．

13. 难度：中等

（2002•南通）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．
（1）求证：∠ADE=∠B；
（2）过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE．

14. 难度：中等

（2002•天津）已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E．
（1）如图，求证：EB=EC=ED；
（2）试问在线段DC上是否存在点F，满足BC²=4DF•DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

（2002•天津）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB=CD=2，求CE的长．

16. 难度：中等

（2002•娄底）如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．
解答下列问题：
（1）若BC=10，BE=8，求CD的值；
（2）求证：DF•DB=EG•EF．

17. 难度：中等

（2002•荆门）已知：如图，PF是⊙O的切线，PE=PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，
（1）求证：PE∥BC；
（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．

18. 难度：中等

（2002•吉林）如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）求CE的长和△AFC的面积．

19. 难度：中等

（2002•广元）如图，点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于点E．
①求证：IE=BE；
②线段IE是哪两条线段的比例中项，试加以证明．

20. 难度：中等

（2002•山西）已知：如图，A是⊙O₁、⊙O₂的一个交点，点M是O₁O₂的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O₁、⊙O₂于B、C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若O₁A切⊙O₂于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d_l、d₂，求证：d₁+d₂=O₁O₂；
（3）在（2）条件下，若d₁d₂=1，设⊙O₁、⊙O₃的半径分别为R、r，求证：R²+r²=．

21. 难度：中等

（2002•苏州）已知：⊙O₁与⊙O₂外切于点P，过点P的直线分别交⊙O₁、⊙O₂于点B、A，⊙O₁的切线BN交⊙O₂于点M、N，AC为⊙O₂的弦．
（1）如图（1），设弦AC交BN于点D，求证：AP•AB=AC•AD；
（2）如图（2），当弦AC绕点A旋转，弦AC的延长线交直线BN于点D时，试问：AP•AB=AC•AD是否仍然成立？证明你的结论．

22. 难度：中等

（2002•杭州）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点C，⊙O₁与⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；
（2）证明：PC²=PA•PB．

23. 难度：中等

（2002•四川）已知：如图，⊙O的半径为R，CD是⊙O的直径，以点D为圆心，以r（r＜R）为半径作⊙D，⊙D与⊙O相交于A、B两点，BD的延长线与⊙D相交于点E，连接AE．
求证：（1）AE∥CD；（2）AE=．

24. 难度：中等

（2002•青海）已知线段AB，如图，按下列要求进行尺规作图，保留作图痕迹．
①过点B作BD⊥AB，使BD=AB；
②连接AD，在AD上截取DE=DB；
③在AB上截取AC=AE．
请你回答：这时点C是线段AB上的一个______点．

25. 难度：中等

（2002•黄冈）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S_△ABD，S_△BED和S_△BDC间的关系式，并给出证明．

26. 难度：中等

（2002•湖州）如图，已知E是平行四边形ABCD中DA边的延长线上一点，且AE=AD，连接EC分别交AB，BE于点F、G．
（1）求证：BF=AF；
（2）若BD=12cm，求DG的长．

27. 难度：中等

（2002•烟台）如图，DE是△ABC的中位线，∠B=90°，AF∥BC．在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

28. 难度：中等

（2002•娄底）如图，P是△ABC的BC边上的一个动点，且四边形ADPE是平行四边形．
（1）求证：△DBP∽△EPC；
（2）当点P在什么位置时，S_{四边形ADPE}=S_△ABC？请说明理由．

29. 难度：中等

（2002•吉林）将两块完全相同的等腰直角三角形，摆成如图所示的样子，假设图形中所有的点和线段都在一个平面内，回答下列问题：
（1）图中有多少个三角形，把它们一一写出来；
（2）图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有把它们一一写出来．

30. 难度：中等

（2002•滨州）在不等边△ABC中，D为AB上一点．在AC上是否存在点E，使连接DE后构成的三角形与原三角形相似？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．