2001年全国中考数学试题汇编《二次函数》（02）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2001•宁波）已知α，β是方程x²-x-1=0的两根，抛物线y=ax²+bx+c经过两点（α，β）（β，α），且a+b+c=1，求a，b，c的值．

2. 难度：中等

（2001•重庆）如图，在平面直角坐标系中，A、B是x铀上的两点，C是y轴上的一点．∠ACB=90°，∠CAB=30°，AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，4）．
（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式．

3. 难度：中等

（2001•江西）已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（c，0），…，求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称，其中省略号部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字，根据现有信息，请你确定题中二次函数的可能的解析式，并说明理由．

4. 难度：中等

（2001•海南）已知二次函数y=x²-（2m+1）x+m²-1．
（1）如果该函数的图象经过原点，请求出m的值及此时图象与x轴的另一交点的坐标；
（2）如果该函数的图象的顶点在第四象限，请求出m的取值范围；
（3）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线上，请求出此时函数的解析式．

5. 难度：中等

（2001•广州）已知点A（1，2）和B（-2，5）．试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A、B两点．

6. 难度：中等

（2001•青海）在斜坡A处立一旗杆AB（旗杆与水平面垂直），一小球从斜坡O点抛出（如图），小球擦旗杆顶B而过，落地时撞击斜坡的落点为C，已知A点与O点的距离为米，旗杆AB高为3米，C点的垂直高度为3.5米，C点与O点的水平距离为7米，以O为坐标原点，水平方向与竖直方向分别为x轴、y轴，建立直角坐标系．
（1）求小球经过的抛物线的解析式（小球的直径忽略不计）；
（2）H为小球所能达到的最高点，求OH与水平线Ox之间夹角的正切值．

7. 难度：中等

（2001•宁波）△ABC中∠A为锐角，，AB+AC=6（cm），设AC=xcm，△ABC的面积为ycm²．
（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）当AC长度为何值时，△ABC的面积最大，最大面积是多少？

8. 难度：中等

（2001•金华）某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图（1）（2）两图．
注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线．
（1）在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本）是多少元
（2）设x月份出售这种蔬菜，每千克收益为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）问哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．

9. 难度：中等

（2001•吉林）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

10. 难度：中等

（2001•河北）某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多销售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y与x的二次函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x+）²+的形式．写出顶点坐标，并在图中画出草图；观察图象，指出单价定为多少时日均获利最多是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？

11. 难度：中等

（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：

x（十万元）		1	2
y	1	1.5	1.8

（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？

12. 难度：中等

（2001•武汉）如图，关于x的二次函数y=x²-2mx-m的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₂＞0＞x₁），与y轴交于C点，且∠BAC=∠BCO．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）以点D（，0）为圆心作⊙D，与y轴相切于点O．过抛物线上一点E（x₃，t）（t＞0，x₃＜0）作x轴的平行线与⊙D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H．问：是否存在实数t，使得EF+GH=FG？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

（2001•乌鲁木齐）如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数的图象与直线AB交于C、D两点，P为双曲线上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
（1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
（2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
（4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

14. 难度：中等

（2001•温州）己知：抛物线y=x²-（k+1）x+k
（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

15. 难度：中等

（2001•天津）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=a，AC=b．且a＞b，若a，b分别是二次函数y=x²-（2k+1）x+k²-2的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、b的值．

16. 难度：中等

（2002•泰州）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，面积S=9，建立如图所示的直角坐标系，已知A（1，0）、B（0，3）．
（1）求C、D两点坐标；
（2）取点E（0，1），连接DE并延长交AB于F，求证：DF⊥AB；
（3）将梯形ABCD绕A点旋转180°到AB′C′D′，求对称轴平行于y轴，且经过A、B′、C′三点的抛物线的解析式；
（4）是否存在这样的直线，满足以下条件：①平行于x轴，②与（3）中的抛物线有两个交点，且这两交点和（3）中的抛物线的顶点恰是一个等边三角形的三个顶点？若存在，求出这个等边三角形的面积；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

（2001•四川）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴的负半轴交于点C．若抛物线顶点的横坐标为-1，A、B两点间的距离为10，且△ABC的面积为15．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求出点A和点B的坐标；
（3）在x轴上方，（1）中的抛物线上是否存在点C'，使得以A、B、C'为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

（2001•沈阳）已知如图，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

19. 难度：中等

（2001•上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

20. 难度：中等

（2001•上海）如图，已知抛物线y=2x²-4x+n与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；
（3）若直线分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等？如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

21. 难度：中等

（2001•山东）已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点P（1，-2）、Q（-1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC．
（1）求a与c的关系式；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）是否存在满足条件tan∠CAB•cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

（2001•南京）如图，E、F是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足为M、N，设HM=x，矩形AMHN的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？

23. 难度：中等

（2001•内江）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交y轴于（0，-15），且过点（3，0）和（4，）；
（1）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，抛物线与x轴的两个交点为A、B，以AB为直径作圆M，过P作⊙M的切线，求所作切线的解析式．

24. 难度：中等

（2001•昆明）如图，在直角坐标系中，半径为5的圆与x轴交于A、B两点，y轴相切于T点，且A，T是直线y=-2x+4与x轴，y轴的交点．
（1）求点T、A、B的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，并且顶点D在圆上，求D点坐标；
（3）求出（2）中A、B、D三点且使△ABD的面积是27的抛物线的解析式．

25. 难度：中等

（2001•荆州）设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）的图象经过（0，y₁）、（1，y₂）和（-1，y₃）三点，且满足y₁²=y₂²=y₃²=1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，C为顶点，连接AC、BC，动点P从A点出发沿折线ACB运动，求△ABP的面积的最大值；
（3）当点P在折线ACB上运动时，是否存在点P使△APB的外接圆的圆心在x轴上？请说明理由．

26. 难度：中等

（2001•嘉兴）已知抛物线y=x²-2x+a的顶点A在直线y=-x+3上，直线y=-x+3与x轴的交点为B求△AOB的面积（O是坐标原点）．

27. 难度：中等

（2001•湖州）己知如图，正△ABC的边长为2，B，C在x轴的正半轴上，A在第一象限，直线经过A点，以BC为直径的⊙M交AB于E．
（1）求A点的坐标；
（2）求证：OE与⊙M相切；
（3）试各写出一个顶点在⊙M内、⊙M上、⊙M外，且经过B、C两点的抛物线的解析式．（只需写出解析式，不需书写求解过程）．

28. 难度：中等

（2001•呼和浩特）如图，抛物线y=x²-px-q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知∠ACB=Rt∠，∠CAO=α，∠CBO=β，tanα-tanβ=4．
（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点坐标、对称轴方程；
（2）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆正好与x轴相切，求此圆的半径．

29. 难度：中等

（2001•北京）已知抛物线经过点以点A（x₁，0）B（x₂，0），D（0，y₁），其中x₁＜x₂，△ABD的面积等于12．
（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标；
（2）如果点以C（2，y₂）在这条抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的解析式．

30. 难度：中等

（2001•哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．