2011年浙江省宁波市七中保送生推荐考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．x²•x³=x⁶
D．-|-2|=-2

2. 难度：中等

估计68的立方根的大小在（ ）
A．2与3之间
B．3与4之间
C．4与5之间
D．5与6之间

3. 难度：中等

分式值为零的条件是（ ）
A．x≠-1
B．x=1
C．x=-1
D．x=±1

4. 难度：中等

甲、乙两人各射靶10次，他们命中环数的平均成绩为7环，但方差不同，S²_甲=2.5，S²_乙=1.8，那么（ ）
A．甲的波动比乙的波动大
B．乙的波动比甲的波动大
C．甲、乙的波动大小一样
D．甲、乙的波动大小无法确定

5. 难度：中等

在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对角相等
B．对角线相等
C．邻角互补
D．内角和是360°

6. 难度：中等

如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程随时间变化的图象，根据图象下列结论错误的是（ ）

A．轮船的速度为20千米/小时
B．快艇的速度为40千米/小时
C．轮船比快艇先出发2小时
D．快艇不能赶上轮船

7. 难度：中等

下面说法错误的是（ ）
A．直线y=x就是一、三象限的角平分线
B．函数y=3x-10的图象经过点（3，-1）
C．函数中y随x的增大而减小
D．抛物线y=x²-2x+1的对称轴是直线x=1

8. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD=，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S_ABCD=15cm²；②BE=1cm； ③AC=3BD．正确的个数为（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

10. 难度：中等

如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）

A．2
B．1
C．
D．

11. 难度：中等

《歌词古体算题》记载了中国古代的一道在数学史上名扬中外的“勾股容圆”名题，其歌词为：“十五为股八步勾，内容圆径怎生求？有人算得如斯妙，算学方为第一筹．”当中提出的数学问题是这样的：今有股长15步，勾长8步的直角三角形，试求其内切圆的直径．正确的答案是（ ）
A．3步
B．4步
C．5步
D．6步

12. 难度：中等

将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（ ）

A．3
B．8
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

分解因式：a²-a=    ．

14. 难度：中等

函数y=的自变量x取值范围是    ．

15. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	-3	-2	-1		1	…
y	…	-6		4	6	6	…

容易看出，（-2，0）是它与x轴的一个交点，则它与x轴的另一个交点的坐标为    ．

16. 难度：中等

两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是    ．

17. 难度：中等

标有1，1，2，3，3，5六个数字的立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为x，朝下一面的数为y，得到平面直角坐标系中的一个点（x，y）．已知小华前二次掷得的两个点所确定的直线经过点P（4，7），则他第三次掷得的点也在这条直线上的概率为    ．

18. 难度：中等

如图，有任意四边形ABCD，A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D 的对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S′表示四边形A′B′C′D′的面积，则的值为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-4x+m-1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．

20. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=3，AC=，求AB的长．

21. 难度：中等

一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅均后从中一把摸出两个球，请通过列表或画树状图求两个球都是白球的概率；
（2）搅均后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？

22. 难度：中等

如图，线段AB的端点在边长为1的小正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．
（1）请你在所给的网格中画出线段AC及点B经过的路径；
（2）若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（-2，-1），则点C的坐标为______；
（3）线段AB在旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域记为图形T，若将图形T围成一个几何体的侧面，求该几何体底面圆的半径长．

23. 难度：中等

在刚刚结束的市中学生篮球比赛中，小明共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x，如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）当y＞x时，小明在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小明在第10场比赛中，得分可达到的最小值为多少？

24. 难度：中等

已知：如图，直线y=-x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）请判断△OPA的形状并说明理由；
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O、P、A的路线向点A匀速运动（E不与点O，A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．
求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求出S的最大值．

25. 难度：中等

矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．
①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；  ②当n越来越大时，AE的长越来越接近于______．

26. 难度：中等

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．