2005年浙江省温州中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知m，n是方程x²-2003x+2004=0的两根，则（m²-2002m+2003）（n²-2004n+2005）=（ ）
A．2
B．2006
C．-2005
D．-2

2. 难度：中等

如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a²-bc，y=b²-ca，z=c²-ab，则x，y，z中（ ）
A．都不小于0
B．都不大于0
C．至少有一个小于0
D．至少有一个大于0

4. 难度：中等

如图AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，若，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若3⁷可以写成k个连续的正整数之和，则k的最大值为（ ）
A．65
B．64
C．54
D．27

二、填空题

6. 难度：中等

已知△ABC中，BC=2，∠A=45°，AC=a，若满足上述条件的△ABC有且只有一个，则a的取值范围为    ．

7. 难度：中等

对于素数p，q，方程x⁴-px³+q=0有整数解，则p=    q=   

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为    ．

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

对于i=1，2，3，…，n，都有|x_i|＜1，且|x₁|+|x₂|+…|x_n|=19+|x₁+x₂+…+x_n|成立，则正整数n的最小值为    ．

三、解答题

11. 难度：中等

对于如图①、②、③、④所示的四个平面图

我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条．
（1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格：

图	顶点数	边数	区域数
①
②
③	5	8	4
④

（2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系．
（3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？

12. 难度：中等

已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R．求证：R，A，C三点共线．

13. 难度：中等

已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A，B，一条直线过A点分别与两圆相交于Y，Z，两圆分别在Y，Z处的切线相交于X，设△O₁O₂B的外接圆为⊙O，直线XB交⊙O于另一点Q，若YO₁与ZO₂相交于点P．求证：
（1）点P在⊙O上，且线段PQ是⊙O的一条直径；
（2）XQ=PQ．

14. 难度：中等

已知关于x的方程ax²+bx+c=0，甲、乙两人做游戏：他们轮流确定实数a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=10），让甲先确定数，如果方程至少有一个解x，满足-1≤x≤1，那么乙得胜；反之，则甲得胜．
（1）若a，b，c只能取非零实数，甲是否有必胜策略？为什么？
（2）若a，b，c可以取零，甲乙两人中谁有必胜策略？为什么？

15. 难度：中等

给出如下n个平方数：1²，2²，…，n²，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L．
（1）当n=8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；
（2）当n=2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．

16. 难度：中等

已知有限张卡片，每张卡片上各写有一个小于30的正数，所有卡片上数的和为1080．现将这些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先从这些卡片中取出第一批卡片，其数字之和为S₁，满足S₁≤120，且S₁要尽可能地大；然后在取出第一批卡片后，对余下的卡片按第一批的取卡要求构成第二批卡片（其数字之和为S₂）；如此继续构成第三批（其数字之和为S₃）；第四批（其数字之和为S₄）；…直到第N批（其数字之和为S_N）取完所有卡片为止．
（1）判断S₁，S₂，…，S_N的大小关系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片数为多少？
（2）当n=1，2，3，…，N-2时，求证：；
（3）对于任意满足条件的有限张卡片，证明：N≤11．