2003年山东省潍坊市中考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于任意实数a，下列各式一定成立的是（ ）
A．a²=（-a）²
B．a³=（-a）³
C．-a²=|a|²
D．|a³|=a³

2. 难度：中等

计算（-1）+（-0.125）²⁰⁰³×8²⁰⁰³的结果是（ ）
A．
B．-2
C．2
D．O

3. 难度：中等

在△ABC中，∠A：∠B：∠C=l：2：3，CD⊥AB于点D．若BC=a，则AD等于（ ）
A．a
B．a
C．a
D．a

4. 难度：中等

如果a+=3成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≤O
B．a≤3
C．a≥-3
D．a≥3

5. 难度：中等

如图，函数y=在第一象限内的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式是（ ）

A．y=-（x＜0）
B．y=（x＜0）
C．y=-（x＜0）
D．y=（x＜0）

6. 难度：中等

在△ABC中，sinB=cos（90°-C）=，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

7. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，连接AC交EF于G，BD交EF于H，若AD：BC=2：3，则HG：AD等于（ ）
A．1：2
B．1：4
C．2：3
D．1：3

8. 难度：中等

已知二次函数y=3（x-1）²+k的图象上有三点A（，y₁），B（2，y₂），C（-，y₃），则y₁、y₂、y₃的大小关系为（ ）
A．y₁＞y₂＞y₃
B．y₂＞y₁＞y₃
C．y₃＞y₁＞y₂
D．y₃＞y₂＞y₁

9. 难度：中等

如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（ ）

A．17段
B．32段
C．33段
D．34段

10. 难度：中等

防治“非典“增强了人们的卫生意识，大街上随地吐痰的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中．图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到以下资料：“两层300格，每格11.4cm×11cm（长×宽）“．我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为2.3cm和5.8cm，每层卫生纸的厚度约为（精确到O.001cm，π取3.142）（ ）

A．O.015cm
B．O.013cm
C．0.026cm
D．O.130cm

11. 难度：中等

下表是某市四所中学举行男子足球单循环赛的成绩表：

	一中	二中	三中	四中
一中	×	O：1②	3：2	2：0
一中	1：0①	×	1：1	3：0
三中	2：3	1：1	×	4：1
四中	0：2	0：3	1：4	×

其中，成绩栏中的比为行中所在球队与列中所在球队比赛的进球数之比．如①表示二中与一中的比赛，二中以1：0取胜；②表示的是与①的同一场比赛，一中以O：l输给了二中I．按规定，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分．按得分由多到少排名次．同学们看了成绩表以后，对比赛结果有不同的说法，下面的说法中错误的是（ ）
A．三中足球队进球最多
B．二中足球队得冠军
C．一中足球队得第二名
D．四中足球队得1分

12. 难度：中等

下面四个图形，矩形的长都为4cm，宽都为2cm．图（1）是以2cm为半径的半圆，与矩形三边相切；图（2）是以lcm为半径的相切的两圆，且都与矩形相切；图（3）是以lcm为半径的圆与两个半圆相切，且都与矩形相切；图（4）是以O．5cm为半径的相切的8个圆，且都与矩形相切．观察图形，判断下面结论中正确的是（ ）

A．图（1）中阴影部分的面积比其他图形中阴影部分的面积都大
B．四个图形中只有图（2）和图（3）的阴影部分的面积相等
C．图（4）中阴影部分的面积比其他图形中阴影部分的面积都小
D．四个图形中阴影部分的面积都相等

13. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以腰AB为直径作圆，已知AB=10，AD=M，BC=M+4，要使圆与折线BCDA有三个公共点（A、B两点除外），则M的取值范围是（ ）

A．0≤M≤3
B．0＜M＜3
C．0＜M≤3
D．3＜M＜10

二、填空题

14. 难度：中等

（A）方程的解为   
（B）方程的解是    ．

15. 难度：中等

学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境．预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资    元．（精确到1元）

16. 难度：中等

如图，已知线段AB的长度是a（a＞0），点C是线段AB上的一点，线段AC的长是线段AB与CB的长的比例中项，则线段AC的长为    ．

17. 难度：中等

蔬菜种植专业户王先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请甲、乙两种贷款，共13万元，王先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲、乙两种贷款分别是    万元和    万元．

18. 难度：中等

小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论．

参加人数	2	3	4	5	…	n
握手示意图
握手次数	1	2+1=3	3+2+1=6	4+3+2+1=10	…

三、解答题

19. 难度：中等

某学校初三1班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩（单位：分）统计如下：
甲：65  94  95  98  98   乙：62 71  98 99  100
（1）分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数．
（2）分别用平均分和中位数解释甲、乙两位同学哪位同学的成绩较好．
（3）又知同班同学丙的最近5次数学测试成绩（单位：分）如下：
丙：80 86 90 95 99
分别用平均分、中位数和成绩波动大小等知识解释甲与丙的成绩谁的较好，说明理由．

20. 难度：中等

选做题（请从A．B两题中选做一题即可）
A题：在平面内确定四个点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形（包括等边三角形），且每两点之间的线段长只有两个数值．举例如下：图中相等的线段AB=BC=CD=DA，AC=BE．
请你画出满足题目条件的三个图形，并指出每个图形中相等的线段．
B题：如图，已知扇形OAB的圆心角为90°，点C和点D是AB的三等分点，半径OC、OD分别和弦AB交于E、F．请找出图中除扇形半径以外的所有相等的线段，并加以证明．

21. 难度：中等

已知关于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】
（1）根据题意，得
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）
=4k²-12k+9-4k²+4
=-12k+13＞0．
∴k＜．
∴当k＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则x₁+x₂==0，解得k=．
检验知k=是=0的解．
所以当k=时，方程的两实数根x₁，x₂互为相反数．
当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，直接写出正确的答案．

22. 难度：中等

某生产“科学记算器”的公司，有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多方考察，发现公司的生产能力受到限制．决定引进一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作．分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20%，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半．
（1）试确定分派到新生产线的人数；
（2）当多少人参加新生产线生产时，公司年总产值最大？相比分工前，公司年总产值的增长率是多少？

23. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长．
（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
（4）如图4，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请写出正方形的边长．

24. 难度：中等

某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式．（注明范围） 
（2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W（元），与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数关系式．（每箱的利润=售价-进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求当x=40，70时W的值．在给出的坐标系中画出函数图象的草图．
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？

25. 难度：中等

如图，两等圆⊙O₁、⊙O₂相交于A、B两点，且两圆互相过圆心，过B作任一直线，分别交⊙O₁、⊙O₂于C、D两点，连接AC、AD．
（1）试猜想△ACD的形状，并给出证明．
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？证明你的结论．
（3）若⊙O₁、⊙O₂是两个不相等的圆，半径分别为R和r，那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有什么关系？说明理由．