2009年浙江省温州市平阳中学保送生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

计算：-2²+sin45°-2^-1+（3.14-π）=    ．

2. 难度：中等

函数的最大值为    ．

3. 难度：中等

如图，AB∥DC，M和N分别是AD和BC的中点，如果四边形ABCD的面积为36cm²，那么S_△QPO-S_△CDO=    cm²．

4. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=QC=BC，则∠A的大小是    ．

5. 难度：中等

将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是    ．

6. 难度：中等

已知a，b，c均为非零实数，满足：==，则的值为    ．

7. 难度：中等

如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，点P₁，P₂在函数y=（x＞0）的图象上，斜边OA₁，A₁A₂都在x轴上，则点A₂的坐标是    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，AB=BC=9，且∠BAC=45°，P是线段BC上任意一点，P关于AB、AC的对称点为E、F，当△AEF的面积最小时，AP=    ．

9. 难度：中等

已知关于x的不等式ax-b＞0的解是x＜1，则关于x的不等式（ax+b）（x-2）＞0的解为    ．

10. 难度：中等

已知由小到大的10个正整数a₁，a₂，a₃，…，a₁₀的和是2009（a₁，a₂，a₃，…，a₁₀中任何两个数都不相等），那么a₅的最大值是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

（1）先化简，再求值：，其中x=；
（2）解方程：x²-4|x|-5=0．

12. 难度：中等

预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．
（1）求x、y的关系式；
（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．

13. 难度：中等

如图，过△ABC内一点M做各边的平行线与各边分别交于D，E，F，G，L，N各点．求证：++=2．

14. 难度：中等

已知直线（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S₁；当n=2时，直线与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为S₂，…，
依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求设△A₁OB₁的面积S₁；
（2）求S₁+S₂+S₃+…+S₆的值．

15. 难度：中等

已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象如图所示．
（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．