2010年上海市黄浦区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

三角形的重心是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点

2. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若，则向量可表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，则tanC的值是（ ）

A．
B．
C．
D．以上都不是

4. 难度：中等

若方程2x²+3x+1=0的两个实数根为α、β，则积αβ为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个菱形
C．两个正方形
D．两个等腰梯形

6. 难度：中等

将二次函数y=x²的图象向右平移1个单位，那么得到的图象对应的函数表达式为（ ）
A．y=x²-1
B．y=x²+1
C．y=（x-1）²
D．y=（x+1）²

二、填空题

7. 难度：中等

若a：b：c=2：3：4，且a+b+c=18，则a+b-c=    ．

8. 难度：中等

已知单位向量，若向量与的方向相同，且长度为4，则向量=    ．（用单位向量表示）

9. 难度：中等

如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，且DE∥BC，ED：BC=3：5，则AD：BD=    ．

10. 难度：中等

如图，正方形ABCD被3条横线与3条纵线划分成16个全等的小正方形，P、Q是其中两个小正方形的顶点，设，则向量=    ．（用向量、来表示）

11. 难度：中等

若两个相似三角形的相似比为1：2，且其中较大者的面积为2010，则其中较小的三角形的面积为    ．

12. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中一点A，已知OA=，其中O为坐标原点，OA与x轴正半轴所成角α的正切值为2，则点A的坐标为    ．

13. 难度：中等

计算：=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+2x+3的顶点坐标是    ．

15. 难度：中等

一个矩形的周长为20，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是    ．（请注明定义域）

16. 难度：中等

若点A（3，n）在二次函数y=x²+2x-3的图象上，则n的值为    ．

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，O是边AB的中点，过点O的直线l将△ABC分割成两个部分，若其中的一个部分与△ABC相似，则满足条件的直线l共有    条．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-2kx+k²+k+1=0有两个实数根．
（1）试求k的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根x₁、x₂，满足，试求k的值．

20. 难度：中等

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（0，3）和（1，3）．
（1）试求此函数的解析式；
（2）试问：将此函数的图象沿y轴方向平移（向上或向下）多少个单位可以使其图象经过坐标原点？

21. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=．
（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积．

22. 难度：中等

林场工作人员王护林要在一个坡度为5：12的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距．他决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为α，已知．（如图1）
（1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）；
（2）如图2，他以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日阳光照射时前排的树影不遮挡到后排的树为基本要求，那么他在该山坡上种植水杉树的间距（指MN的长）至少多少米？（精确到0.1米）

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．

24. 难度：中等

已知二次函数y=-x²+（k+1）x-k的图象经过一次函数y=-x+4的图象与x轴的交点A．（如图）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）

25. 难度：中等

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，BC=2，∠A=90°．（如图1）
（1）试求∠C的度数；
（2）若E、F分别为边AD、CD上的两个动点（不与端点A、D、C重合），且始终保持∠EBF=45°，BD与EF交于点P．（如图2）
①求证：△BDE∽△BCF；
②试判断△BEF的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；
③设AE=x，DP=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．