2011年湖北省鄂州高中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，则多项式a²+b²+c²-ab-bc-ac的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

2. 难度：中等

在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx²+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

第二象限有一点P（x，y），且|x|=5，|y|=7，则点P关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．（-5，7）
B．（5，-7）
C．（-5，-7）
D．（5，7）

4. 难度：中等

若方程x²+（4n+1）x+2n=0（n为整数）有两个整数根，则这两个根（ ）
A．都是奇数
B．都是偶数
C．一奇一偶
D．无法判断

5. 难度：中等

如右下图，等边△ABC外一点P到三边距离分别为h₁，h₂，h₃，且h₃+h₂-h₁=3，其中PD=h₃，PE=h₂，PF=h₁．则△ABC的面积S_△ABC=（ ）

A．2
B．3
C．10
D．12

6. 难度：中等

某班有50人，在一次数学考试中，得分均为整数，全班最低分为48分，最高分为96分，那么该班考试中（ ）
A．至少有两人得分相同
B．至多有两人得分相同
C．得分相同的情况不会出现
D．以上结论都不对

7. 难度：中等

若实数a满足方程，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

在△ABC中，P、Q分别在AB、AC上，且，则PQ一定经过△ABC的（ ）
A．垂心
B．外心
C．重心
D．内心

9. 难度：中等

在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（ ）千米处．
A．36
B．37
C．55
D．91

10. 难度：中等

已知x²-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x²+（6-a）x+6-b=0有两相等的实数根，x²+（4-a）x+5-b=0无实数根，则a、b的取值范围是（ ）
A．2＜a＜4；2＜b＜5
B．1＜a＜4；2＜b＜5
C．1＜a＜4；1＜b＜5
D．2＜a＜4；1＜b＜5

11. 难度：中等

用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第334个图形需（ ）根火柴棒．

A．2007
B．2008
C．2009
D．2010

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+λx，p、q、r为△ABC的三边，且p＜q＜r，若对所有的正整数p、q、r都满足f（p）＜f（q）＜f（r），则λ的取值范围是（ ）
A．λ＞-2
B．λ＞-3
C．λ＞-4
D．λ＞-5

二、填空题

13. 难度：中等

设多项式x³-x-a与多项式x²+x-a有公因式，则a=    ．

14. 难度：中等

已知n个数x₁，x₂，x₃，…，x_n，它们每一个数只能取0，1，-2这三个数中的一个，且，则x₁³+x₂³+…+x_n³=    ．

15. 难度：中等

如图，半径为r₁的圆内切于半径为r₂的圆，切点为P，弦AB经过O₁交⊙O₁于C，D．已知AC：CD：DB=3：4：2，则=    ．

16. 难度：中等

已知正数a、b、c满足a²+c²=16，b²+c²=25，则k=a²+b²的取值范围为    ．

17. 难度：中等

将正方形由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作（如图），按上边规则，完成6次操作以后，再剪去所得小正方形的左下角，问：当展开这张正方形纸片后，一共有    个小孔．

18. 难度：中等

非零实数x、y满足（-x）（-y）=2009，则=    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，且与双曲线交于点C（m，2），若△AOB的面积为4，求△BOC的面积．

20. 难度：中等

甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏．他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的19张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为3、4、5、7，两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，他摸出“石头”的概率是多少？
（2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
（3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

21. 难度：中等

如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC与⊙O的位置关系是______；
（2）若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD=6，CE=4，求AD的长为______．

22. 难度：中等

m是什么实数时，方程x²-4|x|+5=m有4个互不相等的实数根？

23. 难度：中等

在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服，为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

24. 难度：中等

当x为何有理数时，代数式9x²+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？