2010年湖北省鄂州高中自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点为顶点的矩形共有（ ）
A．6个
B．12个
C．15个
D．18个

2. 难度：中等

某粮店用一架不准确的天平（两臂长不相等）称大米．某顾客要购买10kg大米，售货员先将5kg砝码放入天平左盘，置大米于右盘，平衡后将大米给顾客；然后又将5kg砝码放入天平右盘，置大米于左盘，平衡后再将大米给顾客．售货员的这种操作方式结果使（ ）
A．粮店吃亏
B．顾客吃亏
C．粮店和顾客都不吃亏
D．不能确定

3. 难度：中等

已知一组数据x₁，x₂，x₃，x₄，x₅的平均数是8，方差为2，那么另一组数据：4x₁+1，4x₂+1，4x₃+1，4x₄+1，4x₅+1的平均数和方差分别为（ ）
A．33与2
B．8与2
C．33与32
D．8与33

4. 难度：中等

设，则与S最接近的数是（ ）
A．2008
B．2009
C．2010
D．2011

5. 难度：中等

在直角坐标系中，若一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．设m为整数，当直线y=x-4与y=mx+2m的交点为整点时，m的值可以取（ ）
A．6个
B．8个
C．9个
D．10个

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点N在AB边上，且AN：AB=1：5，CN交AD与M点，则AM：MD的比为（ ）

A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．1：1

7. 难度：中等

若实数x满足x²-14x+1=0，则的十位上的数字为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

8. 难度：中等

关于x的方程|x²-x|-a=0，给出下列四个结论：
①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；
其中正确的结论个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

如图所示，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：1：，则∠APB的度数是（ ）

A．120
B．135
C．150
D．175

10. 难度：中等

用5根长度分别为2，3，4，5，6（cm）的木棒，允许连接，但不能折断，则能围成的三角形的面积最大值为（ ）
A．cm²
B．20cm²
C．cm²
D．cm²

二、填空题

11. 难度：中等

按如图所示的程序计算，若开始输入的值n=6，则最后输出的结果是    ．

12. 难度：中等

设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，如，则使[|x-1|]=2成立的x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

三条直线（k≠0）不能围成一个三角形，则所有可能的k的值为    ．

14. 难度：中等

某水池装有编号为1，2，3，4，5的5个进水管，已知打开的水管编号与灌满水池需要的时间如下表：（如将1，2，3一起打开，则灌满水池需要7.5小时）

水管号	1，2，3	1，3，5	1，3，4	2，4，5
时间（小时）	7.5	5	6	4

若5个水管一起开，则灌满水池需要    小时．

15. 难度：中等

已知x，y满足，则x+y=    ．

16. 难度：中等

若关于x，y的二元二次方程：x²+2xy+8y²+14y+m=0（其中m为常数）表示两条直线，则常数m的值为    ．

17. 难度：中等

设，（其中n为正整数），则S_n的取值范围是    ．

18. 难度：中等

如图所示的数表：第n行有n个数，且首尾两个数均为n．
按以上规律写下去，则数表中第29行的第2个数是    ．

19. 难度：中等

过点P（1，2）作直线，使它与两坐标轴围成的面积为4，这样的直线可以作    条．

20. 难度：中等

设关于x的方程ax²+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，且x₁＜2＜x₂，那么实数a的取值范围是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知x，y，z为实数，且x+y+z=3，xy+yz+zx=2，求z的最大值．

22. 难度：中等

一个不透明的盒子里装有大小相同的3个白球和3个黑球，从中随机摸出两个球：
（1）求这2个球1黑1白的概率；
（2）求至少有一个黑球的概率？

23. 难度：中等

某校高一年级的两个班要到文化馆参加活动，但只有一辆校车接送学生．第一班的学生从学校坐车从学校出发的同时，第二班开始步行；车到途中某处，让第一班的学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车，并直接开往文化馆．学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车为每小时60千米．要使两个班的学生同时到达文化馆，第一班的学生步行了全程的几分之几？

24. 难度：中等

如图所示：过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，过O作OC∥AD，交FD的延长线于C，连CB，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）过D点作DE⊥AB于E，交AC于P，求证：DP=PE．

25. 难度：中等

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上任意一点，
（1）求证：AD²+BE²=AB²+DE²；
（2）若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c，且a、b、c均为整数，求证：a、b中必有一个是3的倍数．

26. 难度：中等

如图：直线y=-x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；
（2）求（1）中S的最大值； 
（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．