2011年四川省绵阳市南山中学实验学校自主招生考试数学模拟试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算3×（-2）的结果是（ ）
A．5
B．-5
C．6
D．-6

2. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）

A．60°
B．70°
C．80°
D．90°

3. 难度：中等

下列计算中，正确的是（ ）
A．2=0
B．a+a=a²
C．
D．（a³）²=a⁶

4. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则▱ABCD的周长为（ ）

A．6
B．9
C．12
D．15

5. 难度：中等

把不等式-2x＜4的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M

7. 难度：中等

若，则xy的值为（ ）
A．6或0
B．-6或0
C．5或0
D．-8或0

8. 难度：中等

已知0＜a＜b，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．x=y
C．x＜y
D．与a、b的取值有关

9. 难度：中等

如图，已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动，设点P经过的路程为 x，△APE的面积为y，则y关于x的函数的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（ ）

A．7
B．8
C．9
D．10

11. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数是（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

12. 难度：中等

将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）

A．6
B．5
C．3
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

的相反数是    ．

14. 难度：中等

如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为    ．

15. 难度：中等

如图，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为    ．

16. 难度：中等

已知x=1是一元二次方程x²+mx+n=0的一个根，则m²+2mn+n²的值为     ．

17. 难度：中等

把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图1摆放时，阴影部分的面积为S₁；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S₂，则S₁    S₂（填“＞”、“＜”或“=”）．

18. 难度：中等

南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况．
A说：B第三名，C第五名；
B说：E第四名，D第五名；
C说：A第一名，E第四名；
D说：C第一名，B第二名；
E说：A第三名，D第四名．
老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

（1）解方程：=．
（2）先化简再求值：，其中2a²+4a-3=0．

20. 难度：中等

甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．

（1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于______°．
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．
（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？

21. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

22. 难度：中等

某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：

	A	B
成本（万元/套）	25	28
售价（万元/套）	30	34

（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？
（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a＞0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？

23. 难度：中等

在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

24. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

25. 难度：中等

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=a，AB=2，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过E点的⊙P的切线的解析式．