2004年广东省深圳市实验中学高一直升考试数学试卷 （解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列运算正确的是（ ）
A．x³+x³=2x⁶
B．x⁶÷x²=x³
C．（-3x³）²=2x⁶
D．x²•x^-3=x^-1

2. 难度：中等

下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下面有四种说法，其中正确的是（ ）
A．-64的立方根是4
B．49的算术平方根是±7
C．的立方根是
D．的平方根是±3

4. 难度：中等

不等式组的解集为（ ）
A．x＞1或x＜-2
B．x＞1
C．-2＜x＜1
D．x＜-2

5. 难度：中等

近似数0.03020有效数字的个数和精确度分别为（ ）
A．四个，精确到十万分位
B．三个，精确到十万分位
C．三个，精确到万分位
D．四个，精确到万分位

6. 难度：中等

下列一元二次方程中，两根分别为-1+-1-是（ ）
A．x²+2x+4=0
B．x²+2x-4=0
C．x²-2x+4=0
D．x²-2x-4=0

7. 难度：中等

已知是方程kx-y=3的一个解，那么k的值是（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

8. 难度：中等

如果，那么x的取值范围是（ ）
A．x≤2
B．x＜2
C．x≥2
D．x＞2

9. 难度：中等

将抛物线y=2x²如何平移可得到抛物线y=2（x-4）²-1（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

10. 难度：中等

化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（ ）
A．10cm²
B．10πcm²
C．20cm²
D．20πcm²

12. 难度：中等

下列说法中，正确的是（ ）
A．到圆心的距离大于半径的点在圆内
B．圆的半径垂直于圆的切线
C．圆周角等于圆心角的一半
D．等弧所对的圆心角相等

13. 难度：中等

如果一个角的余角和这个角的补角互补，那么这个角的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°

14. 难度：中等

我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

已知△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=3b，则cosA=（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知一组数据-1，x，0，1，-1的平均数是0，那么这组数据的方差是（ ）
A．
B．0.8
C．4
D．2

17. 难度：中等

下图中，分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

下列四个命题中错误的是（ ）
A．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．菱形的一条对角线平分一组对角
C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D．等腰梯形的两条对角线相等

19. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为（ ）

A．
B．
C．3
D．

20. 难度：中等

如图，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2．若CF：DF=1：4，则CF的长等于（ ）

A．
B．2
C．3
D．2

21. 难度：中等

已知一次函数y=kx-2，y随着x的增大而减小，那么反比例函数y=（ ）
A．当x＞0时，y＞0
B．在每个象限内y随x的增大而减小
C．在第一，三象限
D．在第二，四象限

22. 难度：中等

关于x的方程x²+（3m-1）x+2m²-m=0的根的情况是（ ）
A．有两个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根

23. 难度：中等

将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（ ）
A．1种
B．2种
C．4种
D．无数种

24. 难度：中等

如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA=5cm，下面四个结论中可能成立的是（ ）

A．AB=12cm
B．OC=6cm
C．MN=8cm
D．OC=2.5cm

25. 难度：中等

计算×÷++（0.25）¹⁹⁹⁹×4¹⁹⁹⁹的结果是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

26. 难度：中等

如果两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们面积的比是（ ）
A．1：1
B．
C．1：2
D．1：4

27. 难度：中等

晚饭后，郑大爷出去散步，如图描述了他散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的关系，依据图象，下面的描述符合郑大爷散步情景的是（ ）

A．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找朋友去了，13分后才开始返回

28. 难度：中等

赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完．他读了前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下列方程中，正确的是（ ）
A．=14
B．=14
C．=1
D．=14

29. 难度：中等

将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）

A．矩形
B．三角形
C．梯形
D．菱形

30. 难度：中等

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（ ）
A．不存在
B．只有一个
C．只有两个
D．有无数个

二、填空题

31. 难度：中等

分解因式：a³-4a²+4a=    ．

32. 难度：中等

已知a=，b=；则的值是    ．

33. 难度：中等

已知点A、点B在x轴上，分别以A、B为圆心的两圆相交于M（3a-b，5）、N（9，2a+3b），则a^b的值是    ．

34. 难度：中等

已知抛物线y=x²+2（k+1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x=1的两侧，则k的取值范围是    ．

35. 难度：中等

从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8种产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10
乙：4，6，6，6，8，9，12，13
丙：3，3，4，7，9，10，11，12
三个厂家在广告中都称该产品使用寿命为8年，根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中哪一个集中趋势的特征数
甲：    ，乙：    ，丙：    ．

36. 难度：中等

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是    ．

37. 难度：中等

如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b²+c²=2a²+16a+14与bc=a²-4a-5，那么a的取值范围是    ．

38. 难度：中等

观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，…，则它的第2002个数是    ．

39. 难度：中等

如图：正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M、交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN=1，PN=3，则DM的长为    ．

40. 难度：中等

今年国家为了继续刺激消费，规定私人购买耐用消费品，不超过其价值50%的款项可以用抵押的方式向银行贷款．蒋老师欲购买一辆家用轿车，他现在的全部积蓄为p元，只够购车款的60%，则蒋老师应向银行贷款    元．

三、解答题

41. 难度：中等

如图，已知在△ABC中，若AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两个根，且25BC•sinA=9AB．求△ABC三边的长？

42. 难度：中等

已知关于x的方程：
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根x₁、x₂满足x₂-x₁=2，求m的值及相应的x₁、x₂．

43. 难度：中等

阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为，所以．
（1）根据定义计算：
①log₃81=______；②log₃3=______；③log₃1=______；
④如果log_x16=4，那么x=______．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aM=x，log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵a^x•a^y=a^x+y，∴a^x+y=M•N∴log_aMN=x+y，
即log_aMN=log_aM+log_aN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
log_aM₁M₂M₃…M_n=______（其中M₁、M₂、M₃、…、M_n均为正数，a＞0，a≠1）
log_a=______（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．

44. 难度：中等

已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S_△ABD，S_△BED和S_△BDC间的关系式，并给出证明．

45. 难度：中等

某企业有员工300人生产A种产品，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数）．为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的B种产品．根据评估，调配后继续生产A种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m万元．
（1）调配后企业生产A种产品的年利润为______万元，生产B种产品的年利润为______万元（用含m的代数式表示）．若设调配后企业全年的总利润为y万元，则y关于x的关系式为
______；
（2）若要求调配后企业生产A种产品的年利润不少于调配前企业年利润的五分之四，生产B种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时运算过程可保留3个有效数字）．
（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（m=2）继续投资开发新产品，现有六种产品可供选择（不得重复投资同一种产品），各产品所需资金以及所获利润如下表：

产 品	C	D	E	F	G	H
所需资金（万元）	200	348	240	288	240	500
年 利 润（万元）	50	80	20	60	40	85

如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产品？请你写出两种投资方案．

46. 难度：中等

18策机《MK-97》能录入和存贮数字，并且只能施行下列三种运算：
（1）检验选定的两个数是否相等；
（2）对选定的数进行加法运算；
（3）对选定的数a和b，可求出方程x²+ax+b=0的根，或者指出该方程无实数根．所有运算的结果都会被存贮．如果起初已录入一个数，如何借助《MK-97》判断这个数是否为1？

47. 难度：中等

如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

48. 难度：中等

已知抛物线y=ax²-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α²+β²=10．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设这个抛物线与y轴的交点为P，H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；
（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．