2009年广东省深圳市实验中学高一直升考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．

2. 难度：中等

已知：二次函数y=ax²-x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的外接圆圆心D的坐标及⊙D的半径；
（3）设⊙D的面积为S，在抛物线上是否存在点M，使得S_△ACM=？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，直线y=分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（4，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：2．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）求点E、F的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
（3）若在直线y=上存在点Q，使∠OQC等于90°，请直接写出b的取值范围．

二、选择题

4. 难度：中等

的绝对值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示，下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

6. 难度：中等

举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例中不正确的是（ ）
A．设这个角是90°，它的补角是90°，但90°=90°
B．设这个角是120°，它的补角是60°，但60°＜120°
C．设这个角是80°，它的补角是100°，但80°＜100°
D．设这个角是110°，它的补角是70°，但70°＜110°

7. 难度：中等

已知等腰三角形中的一条边长为3cm，另一条边长为5cm，则它的周长为（ ）
A．11cm
B．12cm
C．13cm
D．11cm或13cm

8. 难度：中等

如果∠A为锐角，cosA=，那么∠A所在的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°

9. 难度：中等

化简-的结果是（ ）
A．a-2b
B．2b-a
C．a+2b
D．-a-2b

10. 难度：中等

如图是河堤的横截面，堤高BC=5米，迎水坡AB长为10米，则迎水坡AB的坡度是（ ）

A．1：
B．：1
C．30°
D．60°

11. 难度：中等

如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ADC=70°，则∠ABD的度数为（ ）

A．50°
B．40°
C．30°
D．20°

12. 难度：中等

如图，两个反比例函数y₁=和y=在第一象限内的图象一次是C₁和C₂，设点P在C₁上，PC⊥x轴于点C，交C₂于点A，PD⊥y轴于点D，交C₂于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）

A．5
B．6
C．7
D．8

13. 难度：中等

某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）

A．15
B．16
C．17
D．18

三、填空题

14. 难度：中等

方程x²=9的解为    ．

15. 难度：中等

六边形的内角和等于    度．

16. 难度：中等

化简÷的结果为    ．

17. 难度：中等

已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=4cm，BC=3cm，sin∠A=    ．

18. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD=6，则点D到AB的距离为    ．

19. 难度：中等

如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于    ．

20. 难度：中等

把正整数1，2，3，4，5，…，按如下规律排列：

							1
						2		3
				4		5		6		7
8		9		10		11		12		13		14		15
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

按次规律，可知第n行有    个正整数．

21. 难度：中等

如图，在Rt△ABC内有三个正方形CDEF、FGHM、MNPQ，已知DE=9，GH=6，则第三个正方形的边长NP=    ．

22. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是    cm．

23. 难度：中等

已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为    ．

四、解答题

24. 难度：中等

计算：．

25. 难度：中等

解方程：=2．

26. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，CD=4，∠ACB=∠D，tan∠B=，求梯形ABCD的面积．

27. 难度：中等

某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．
（1）设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：

苹果品种	甲	乙	丙
每吨苹果所获利润（万元）	0.22	0.21	0.20

设此次运输的利润为W（万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W最大，并求出最大利润．

28. 难度：中等

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．