2011年北京市丰台区中考数学二模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

-5的相反数是（ ）
A．-5
B．5
C．-
D．

2. 难度：中等

根据北京缓解拥堵网站公布的数据，截止2011年4月9日零时，北京小客车指标个人申请累计约为492000个，用科学记数法表示
492000是（ ）
A．49.2×10⁴
B．492×10³
C．4.92×10⁵
D．0.492×10⁶

3. 难度：中等

若一个正多边形的每个内角都为120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6

4. 难度：中等

一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是（ ）
A．6π
B．4π
C．2π
D．π

5. 难度：中等

在五张质地大小完全相同的卡片上分别印有直角三角形、平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，则抽到的卡片上的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．75°

7. 难度：中等

某居民小区开展节约用电活动，有关部门对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电量情况如下表：

节电量（千瓦时）	20	30	40	50
户    数	10	40	30	20

则4月份这100户家庭节电量的中位数、众数分别是（ ）
A．35、30
B．30、20
C．30、35
D．30、30

8. 难度：中等

如图所示的正方体的展开图是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

分解因式：2a²-8=    ．

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC=    cm．

11. 难度：中等

若分式的值为0，则x的值是    ．

12. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，点D₁是斜边AB的中点，过点D₁作D₁E₁⊥AC于点E₁，连接BE₁交CD₁于点D₂；过点D₂作D₂E₂⊥AC于点E₂，连接BE₂交CD₁于点D₃；过点D₃作D₃E₃⊥AC于点E₃，如此继续，可以依次得到点D₄、D₅、…、D_n，分别记△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面积为S₁、S₂、S₃、…S_n．设△ABC的面积是1，则S₁=    ，S_n=    （用含n的代数式表示）．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

解方程：．

15. 难度：中等

已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，且DF⊥BE于点F，AC⊥BE于点C，BF=CE，DF=AC．
求证：AB=DE．

16. 难度：中等

已知x²+3x=15，求代数式-2x（x-1）+（2x+1）²的值．

17. 难度：中等

某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？

18. 难度：中等

如图，反比例函数（x＞0）的图象过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在（x＞0）的图象上，求直线AB的解析式；
（3）当一次函数的值大于反比例函数的值时，根据图象写出x的取值范围．

19. 难度：中等

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，BD⊥CD，AD=2，BC=6．求sin∠ABC的值．

20. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径．

21. 难度：中等

某校数学兴趣小组成员小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）频数、频率分布表中a=______，b=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）数学老师准备从不低于90分的学生中选1人介绍学习经验，那么取得了93分的小华被选上的概率是多少？

分组	49.5～59.5	59.5～69.5	69.5～79.5	79.5～89.5	89.5～100.5	合计
频数	2	a	20	16	4	50
频率	0.04	0.16	0.40	0.32	b	1

22. 难度：中等

猜想、探究题：
（1）观察与发现
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？

（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD（AB＜CD）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．
猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤中∠FEG的大小．

23. 难度：中等

已知：关于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的两个实数根均为负整数？

24. 难度：中等

已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；
（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？

25. 难度：中等

已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，-2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．