2007年北京市昌平区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

我省教育事业迅猛发展，“十五”末，仅普通初中在校学生数就达3 440 000，该数字用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.44×10⁵
B．0.344×10⁶
C．34.4×10⁵
D．3.44×10⁶

2. 难度：中等

如图所示的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

不等式组的解集是（ ）
A．x＞2
B．x＜3
C．2＜x＜3
D．x＞3

4. 难度：中等

在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（ ）
A．10
B．15
C．5
D．3

5. 难度：中等

三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

关于x的方程ax²-2x+1=0中，如果a＜0，那么方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定

7. 难度：中等

已知抛物线y=（x-4）²-3的部分图象如图所示，若随自变量的取值逐渐增大，则图象再次与x轴相交的交点坐标是（ ）

A．（5，0）
B．（6，0）
C．（7，0）
D．（0，7）

8. 难度：中等

如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O（点A与点O重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合．在以半径为2个单位长度的⊙O′中，的长等于AA′的长，则所对圆心角的度数为（ ）

A．60°
B．90°
C．100°
D．120°

二、填空题

9. 难度：中等

计算：2a²•ab=    ．

10. 难度：中等

下表中，若学生的平均分为3分（5分制），则x的值是    ．

分数		1	2	3	4	5
学生人数	x	2	2	5	10	1

11. 难度：中等

观察下列各式：
97²=9409，997²=994009，9997²=99940009．
猜想：99997²=    ．

12. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，M是BC的中点，CM=2．点P是BD上一动点，则PM+PC的最小值是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：|-3|++（1-）-4cos30°．

14. 难度：中等

解方程：3（x-2）=5x（x-2）

15. 难度：中等

如图，AB、CD相交于点E，现给出如下三个论断：①∠A=∠C；②AD=CB；③AE=CE．请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个真命题，并加以证明．你的选择是：
条件：______．
结论：______．

16. 难度：中等

已知a-1=，求代数式a（1-a）+（a+1）（a-1）的值．

17. 难度：中等

观察我市某区居民经济情况统计图表，回答下列问题：
（1）该区农民年人均纯收入相对上一年，哪年增长最快？增长了多少元？
（2）为在世人瞩目的2008年奥运会上，展示我国民风采，该区将人均收入指标定为：农民年人均纯收入的平均增长率不低于9%，城镇居民年人均可支配收入的平均增长率不低于10%．请你分别预计2007年农民人均纯收入和2008年城镇居民人均可支配收入最低各达到多少元？
（3）根据以上信息，请你提出一条积极合理的建议．

18. 难度：中等

如图，机器人从y轴上一点A沿着南偏西30°的方向，走了2个单位长度，到达B点后观察到原点O在它的东南方向上，求点A的坐标．

19. 难度：中等

如图所示，一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=的图象交于M、N两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出y₂＞1时，x的取值范围．

20. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）若AD=2，DC=3，求⊙O的半径；
（3）若点D关于AB的对称点为D′，试探究当点D满足什么条件时，四边形DD′BC为菱形．

21. 难度：中等

八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

22. 难度：中等

阅读理解，回答问题．
在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b．
例如：在比较m²+1与m²的大小时，小东同学的作法是：
∵（m²+1）-（m²）=m²+1-m²=1＞0，
∴m²+1＞m²．
请你参考小东同学的作法，解决如下问题：
（1）请你比较4与（2+）²的大小；
（2）已知a、b为实数，且ab=1，设M=+，N=+，试比较M、N的大小；
（3）一天，小明爸爸的男同事来家做客，已知爸爸的年龄比小明年龄的平方大7岁，爸爸同事的年龄是小明年龄的5倍，请你帮忙算一算，小明该称呼爸爸的这位同事为“叔叔”还是“大伯”？

23. 难度：中等

已知：如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，垂足为E，连接AE．
（1）求证：DE=DA；
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；若没有，请说明理由；
（3）求△BEC与△AEB的面积之比．

24. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线=ax²+bx+c（a≠0）经过C、D、B三点．注：抛物线的顶点坐标为
（-，）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，△PAB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ；
（2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．