2003年江苏省苏州市中学国际班、科少班招生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图，OA=2，AB=1的矩形OABC在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，点A落在点A₁，则点A₁的坐标是    ．

2. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为    cm²．

3. 难度：中等

已知x²+xy=3，xy+y²=-2，则2x²-xy-3y²=    ．

4. 难度：中等

若n为正整数，关于x的方程x²-（2n+2003）x+n²a_n=0的两个根为α_n，β_n，且，则a₂₀₀₃=    ．

5. 难度：中等

已知：m，n，p均是实数，且mn+p²+4=0，m-n=4，则m+n=    ．

6. 难度：中等

图1是一个三角形，分别连接这个三角形的中点得到图2；再分别连接图2中间的小三角形的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下面问题：

在第n个图形中有    个三角形（用含n的式子表示）．

7. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值为    ．

8. 难度：中等

已知f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的非负实数x，y都成立，f（0）≠0且f（1）=3，则=    ．

9. 难度：中等

平面直角坐标系内，一个圆心在（a，b）的圆包含原点（0，0），设此圆在第一象限及第三象限的面积和为S₁，在第二象限及第四象限的面积和为S₂，则|S₁-S₂|=    ．

10. 难度：中等

如果方程x²-2x+m=0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点D、E，过E作BC的垂线交BC于点F，交⊙O于M，P是弧BC中点，连接PC交EM于点G，若AB=13，AE=5，tan∠BGF=4．求：（1）EM的长；（2）AD的长．

12. 难度：中等

如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮的方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度向小岛B靠拢．我海军舰艇立即以21海里/时的速度去营救．
（1）求舰艇靠近渔轮所需的时间．
（2）设舰艇的航向与AC的夹角为α，求α的正弦值．

13. 难度：中等

已知某商品定价（a元/件）上涨2x%，其销售量（b件）便相应减少x%．按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后所得的总额总比涨价前的销售额少，求这时生产率P的取值范围（精确到0.1%）．

14. 难度：中等

已知：在直角坐标系中，直线l₁为y=3x，点P在直线l₁上，经过点P和点Q（1，2）的直线为l₂，设在第一象限内直线l₁、直线l₂和x轴围成的三角形的面积为S，求S的最小值．