2011年浙江省宁波市余姚中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果实数m≠n，且=，则m+n=（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

2. 难度：中等

生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在H₁→H₂→H₃→H₄→H₅→H₆这条生物链中（H_n表示第n个营养级，n=1，2，…，6），要使H₆获得10千焦的能量，那么需要H₁提供的能量约为（ ）
A．10⁴千焦
B．10⁵千焦
C．10⁶千焦
D．10⁷千焦

3. 难度：中等

甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为图上三点，则在正方体盒子中，∠ABC的度数为（ ）

A．150°
B．120°
C．90°
D．60°

5. 难度：中等

如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（ ）


A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）
B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）
D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）

6. 难度：中等

如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在（ ）千米处．
A．36
B．37
C．55
D．91

8. 难度：中等

函数y=ax²+bx+c图象的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，（a+c）²-b²，（a+b）²-c²，b²-a²等代数式的值中，正数有（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

二、填空题

9. 难度：中等

若是第三象限内的点，且a为整数，则a=    ．

10. 难度：中等

若f（n）为n²+1（n为正整数）的各位数字之和，如：6²+1=37，则f（6）=3+7=10．记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），f_k+1（n）=f（f_k（n）），k为正整数，则f₂₀₁₁（8）=    ．

11. 难度：中等

如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数    （填函数解析式）的图象上运动．

12. 难度：中等

已知函数y=x²+2ax+a²-1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为    ．

14. 难度：中等

已知△ABC中，满足，b=4，则a+c=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在165～180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170～180cm之间的概率．

16. 难度：中等

对于二次函数y=ax²+bx+c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：y=x²+2x+2）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式______．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x为何值时，y取得最大值？并求出y的最大值．