2009年四川省绵阳市南山中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

的立方根是（ ）
A．8
B．±2
C．4
D．2

2. 难度：中等

下列等式中，对任意实数a都成立的是（ ）
A．
B．a=1
C．
D．

3. 难度：中等

若一次函数的自变量x的取值范围是-1＜x＜3时，函数值y的范围是-2＜y＜6，则此一次函数的解析式为（ ）
A．y=2
B．y=-2x+4
C．y=2x或y=-2x+4
D．y=-2x或y=2x-4

4. 难度：中等

如图，已知AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（ ）

A．60°
B．70°
C．80°
D．90°

5. 难度：中等

若0＜x＜1，则x²，x，，这四个数中（ ）
A．最大，x²最小
B．x最大，最小
C．x²最大，最小
D．x最大，x²最小

6. 难度：中等

如图是小王早晨出门散步时，离家的距离s与时间t之间的函数图象．若用黑点表示小王家的位置，则小王散步行走的路线可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在实数范围内定义运算*，其法则为：，则当a*（a+1）=0时a=（ ）
A．
B．-2
C．
D．2

8. 难度：中等

如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=．AC上有一点E，满足AE：EC=2：3．那么，tan∠ADE是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图转动一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上作无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的点A位置变化为A→A₁→A₂，其中第二次翻滚时被桌面上另一小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，则A翻滚到A₂时，共经过的路径长为（ ）cm．
A．3.5π
B．4.5π
C．5π
D．10π

10. 难度：中等

已知如图：一次函数y=2x与反比例函数相交于A、C 两点，过这两点分别作AB⊥y轴，CD⊥y轴，垂足分别为B、D，连接BC和AD，则四边形ABCD的面积是（ ）

A．2
B．4
C．6
D．8

11. 难度：中等

如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）

A．0.36π米²
B．0.81π米²
C．2π米²
D．3.24π米²

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（ ）

A．（2，2）
B．（，）
C．（2，）
D．（，）

二、填空题

13. 难度：中等

分解因式：x²y-2xy-3y=    ．

14. 难度：中等

音乐家和数学家们经过长期合作研究并发现：琴弦所发出声音高低取决于琴弦的长度，如果几根琴弦长度之比能表示成整数的比，则它们发出的声音就很和谐．如三根弦长之比为15：12：10，它们发出的声音就是简谱中的1、3、7．经过计算表明这三个数的倒数有如下关系：，这样的三个数我们称之为一组和谐数．假设现有一组和谐数：x、6、4，则x的值为    ．

15. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的部分对应值如下表：

x	-2	-1		1	2	3	4
y	5		-3	-4	-3		5

利用二次函数的图象可知：当函数值y＜0时，x的取值范围是    ．

16. 难度：中等

将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形．若用有序数对（m，n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数，那么（7，3）表示的分数是    ．

17. 难度：中等

点P（x，y）的坐标x，y均可以在-1，0，1，2中任意选取，则点P在第二象限的概率是    ； 点P不在直线y=-2x+3上的概率是    ．

18. 难度：中等

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴交于负半轴，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1，其中正确结论的序号是    （少选，错选均不得分）．

三、解答题

19. 难度：中等

（1）计算：
（2）已知：x²=24，求代数式的值．

20. 难度：中等

（1）如果不等式组的整数解只有1和2，求适合这个不等式组的整数a与b的值．
（2）已知：关于x的方程2x²-kx+1=0的一个解与的解相同，求2x²-kx+1=0的另一个解．

21. 难度：中等

在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB=DC；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗？说说你的理由；
（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率．

22. 难度：中等

已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x²-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．

23. 难度：中等

如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，AP是⊙O的切线，P为切点，弦PD⊥BE于C，连接OD，
（1）求证：∠APC=∠AOD；
（2）若OC：CB=1：2且AB=6，求⊙O的半径及∠APB的正切值．

24. 难度：中等

研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x²+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p_甲，p_乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P_甲=-x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W_甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P_乙=-+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．

25. 难度：中等

已知：抛物线，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．