2010年四川省成都市实验外国语学校直升考试数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i个面
（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x_i，则x₁、x₂、x₃之间的关系为（ ）

A．x₁-x₂+x₃=1
B．x₁+x₂-x₃=1
C．x₁+x₃-x₂=2
D．x₁-x₃+x₂=2

2. 难度：中等

横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y=的图象上整点的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．6个
D．8个

3. 难度：中等

如果多项式p=a²+2b²+2a+4b+2010，则p的最小值是（ ）
A．2006
B．2007
C．2008
D．2009

4. 难度：中等

设，则3a³+12a²-6a-12=（ ）
A．24
B．25
C．
D．

5. 难度：中等

如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36
B．37
C．38
D．39

7. 难度：中等

已知实数a、b、c满足===k且abc≠0，则一次函数y=kx+k的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限

8. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）

A．
B．1-
C．-1
D．1-

9. 难度：中等

方程x²-2x+-4=0的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

如图，把Rt△ABC依次绕顶点沿水平线翻转两次，若∠C=90°，AC=，BC=1，那么AC边从开始到结束所扫过的图形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为    ．

12. 难度：中等

关于x的不等式组有三个整数解，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知x=，y=，则2x²-3xy+2y²=    ．

14. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB=6，AC=8，则BC=    ．

16. 难度：中等

若记y==f（x），如f（1）表示x=1时y的值，即f（1）==，则f（2010）+f（2009）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）=    ．

17. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=60°，AD=DC=10，点E，F分别在AD，BC上，且AE=4，BF=x，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x的函数关系式是    （不必写自变量的取值范围）．

18. 难度：中等

若方程|x²-4x+3|=m有两个相异的实数解，则m的取值范围是    ．

19. 难度：中等

如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O₁的直径，半圆O₂过C点且与半圆O₁相切，则图中阴影部分的面积是    ．

20. 难度：中等

若n个等腰三角形的顶角α₁、α₂、…、α_n两两不等，它们的共同特点是：被一条直线分得的两个较小三角形也是等腰三角形，则α₁+α₂+…+α_n=    ．

三、解答题

21. 难度：中等

在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．

22. 难度：中等

对于某一自变量为x的函数，若当x=x时，其函数值也为x，则称点（x，x）为此函数的不动点．现有函数y=，
（1）若y=有不动点（4，4），（-4，-4），求a，b；
（2）若函数y=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（3）已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=的图象与函数y=的图象有什么关系？与函数y=的图象又有什么关系？

23. 难度：中等

如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交⊙O于F，连接AF．
（1）求证：PD•PE=PB•PC；
（2）求证：PE∥AF；
（3）连接AC，若AE：AC=1：，AB=2，求EF的长．

24. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c经过点（1，2）．
（1）若a=1，二次函数顶点A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求此时二次函数的解析式．
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．
（3）在（2）中取得最小值的条件下，若b，c为整数，请求出此时二次函数的解析式，并说明该函数在m≤x≤m+2时的最小值（其中m的常数）．