2009年安徽省芜湖市一中高一自主招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一元二次方程x²+px+q=0的两个根为p、q，则p•q等于（ ）
A．0
B．1
C．0或-2
D．0或1

2. 难度：中等

从1、2、3、4、5这些数中任取两个，则它们的和是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

满足不等式组的所有整数解的个数为（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23

4. 难度：中等

如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

二次函数y=1-（x-a）（x-b），（a、b为常数，且a＜b）与x轴的交点的横坐标分别为m、n（m＜n），则m、n、a、b的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n
B．m＜n＜a＜b
C．m＜a＜n＜b
D．a＜b＜m＜n

6. 难度：中等

两个相似三角形，它们的周长分别是36和12，周长较大的三角形的最大边边长为15，周长较小的三角形的最小边边长为3，则这两个三角形的面积之和是（ ）
A．54
B．56
C．58
D．60

二、填空题

7. 难度：中等

=    ．

8. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（m，）两点，则一次函数的解析式为    ．

9. 难度：中等

方程||x-3|+3x|=1的解是    ．

10. 难度：中等

已知由n个单位正方体堆成的简单几何体的主视图（a）和俯视图（b），则n的最大值与最小值的和为    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CG∥AB，BG分别交AD，AC于E，F．若=，那么等于    ．

12. 难度：中等

现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3：5，则桶的容积为    升．

三、解答题

13. 难度：中等

求出满足方程x²+y²=2（x+y）+xy的所有正整数解．

14. 难度：中等

如图，抛物线y=-x²+px+q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=90°，又tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径长．

15. 难度：中等

如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，M是CD的中点，BM=EM，求证：∠BAC=∠EAD．

16. 难度：中等

某建筑公司承包了两项工程，分别由两个工程队施工，根据工程进度情况，建筑公司可随时调整两队的人数，如果从甲队调70人到乙队，则乙队人数为甲队人数的2倍，如果从乙队调若干人去甲队，则甲队人数为乙队人数的3倍，问甲队至少有多少人？

17. 难度：中等

在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD=1，AB=AC，CD＜1，且∠BAC+∠BDC=180°，求CD的长．