2007年安徽省安庆市一中理科实验班招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a、b有a*b=（a+1）（b-1）②对任意实数a有a^*2=a*a．当x=2时，[3*（x^*2）]-2*x+1的值为（ ）
A．34
B．16
C．12
D．6

2. 难度：中等

若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

3. 难度：中等

如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重合），且DE⊥DF，则（ ）

A．BE+CF＞EF
B．BE+CF=EF
C．BE+CF＜EF
D．BE+CF与EF的大小关系不确定

4. 难度：中等

若二次函数y=ax²+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是（ ）
A．0＜s＜2
B．S＞1
C．1＜S＜2
D．-1＜S＜1

二、填空题

5. 难度：中等

设一次函数y=（常数k为正整数）的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为S_k，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀₀的值是    ．

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM=2，MQ=3，则BC=    ．

7. 难度：中等

[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2]=3．已知正整数n小于2002，且，则这样的n有     个．

8. 难度：中等

△ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x²-12x+m=0的两个根，则m的取值范围    ．

9. 难度：中等

如图，在圆柱形木桶外，有一只小虫子要从桶外的A点爬到桶内的B点．若A点到桶口的距离AC=14cm，B点到桶口的距离BD=10cm，沿着桶口C、D之间的距离是10cm，木桶的厚度不计．则小虫爬行最短线路的路程为    ．

10. 难度：中等

我们知道，对于实系数方程ax²+bx+c=0（a≠0），若x₁、x₂是其两实数根，则有ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂，故有b=-a（x₁+x₂），c=ax₁x₂，即得x₁+x₂=-，x₁x₂=．
根据上述内容，若实系数方程ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）的三个实数根分别是x₁、x₂、x₃，则x₁+x₂+x₃=    ； x₁x₂x₃=    ．

11. 难度：中等

如图，△ABC内三个小三角形的面积分别为5、8、10，则△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

某参观团根据下列条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点
（1）若去A地，也必须去B地；
（2）D、E两地至少去一地；
（3）B、C两地只去一地；
（4）C、D两地都去或都不去；
（5）若去E地，A、D两地也必须去．该参观团最多能去    地方．

三、解答题

13. 难度：中等

若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．

14. 难度：中等

如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．

15. 难度：中等

某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为[]元．
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数；
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废？

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，给定以下五点A（-2，0）、B（1，0）、C（4，0）、D（-2，）、E（0，-6）．从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足对称轴平行于y轴．
我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB．
（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，请用约定的方法一一表示出来；
（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的解析式并证明；如果不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．