2007年四川省自贡市富顺二中高一自主招生考试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘A和B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为0，丁洋获胜，否则，王倩获胜．
（1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

2. 难度：中等

某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价5折售完剩余图书．问该店老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？赔（或赚）多少钱？

3. 难度：中等

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx²-4x+4=0与x²-4mx+4m²-4m-5=0的解都是整数？

4. 难度：中等

阅读材料，解答问题：
命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，则===2R．
证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A．
因为CD是⊙O的直径，所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，sin∠D==，
所以sinA=，即=2R，
同理：=2R，=2R，===2R，
请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面（1）（2）两题：
（1）前面阅读材料中省略了“=2R，=2R”的证明过程，请你把“=2R”的证明过程补写出来．
（2）直接运用阅读材料中命题的结论解题，已知锐角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C．

5. 难度：中等

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E．
（1）求证：AE=AF；
（2）若PB：PA=1：2，M是上的点，AM交BC于D，且PD=DC，试确定M点在BC上的位置，并证明你的结论．

6. 难度：中等

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）经过X轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=a，AB=2，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P，并说明理由；
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，求经过E点的⊙P的切线的解析式．

二、选择题

7. 难度：中等

若⊙O₁的圆心坐标为（2，0），半径为1；⊙O₂的圆心坐标为（-1，0），半径为3，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．内含

8. 难度：中等

若代数式+的值为2，则a的取值范围是（ ）
A．a≥4
B．a≤2
C．2≤a≤4
D．a=2或a=4

9. 难度：中等

小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于（ ）

A．49千克
B．50千克
C．24千克
D．25千克

10. 难度：中等

若有二次函数y=ax²+c，当x取x₁，x₂（x₁≠x₂）时，函数值相等，则当x=x₁+x₂时，函数值为（ ）
A．a+c
B．a-c
C．-c
D．c

11. 难度：中等

四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x²-3mx+2m²+m-2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（ ）
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．平行四边形或梯形

12. 难度：中等

如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（ ）

A．1
B．
C．
D．

三、填空题

14. 难度：中等

如图，已知点A（1，0），点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为    ．

15. 难度：中等

如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C，E，D分别在OA，OB，弧AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为    ．

16. 难度：中等

已知抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S_△ABC=3，那么b=    ．

17. 难度：中等

如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是    ；在前16个图案中有    个“”，第2008个图案是   

四、解答题

18. 难度：中等

一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，
（1）当m为何值时，有一个交点的纵坐标为6？
（2）在（1）的条件下，求两个交点的坐标．

19. 难度：中等

如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）