2005年浙江省宁波市慈溪中学保送生招生考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若0°＜a＜90°，那么以sinα，cosα，tanα•cotα为三边的△ABC的内切圆半径r与外接圆半径R之和是（ ）
A．
B．
C．2sinαcosα
D．

2. 难度：中等

平面直角坐标系中，过点A（1，2）作直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于B、C点，若△BOC（O为坐标原点）的面积为4，则这样的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

3. 难度：中等

直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC+BC=6，则△ABC的面积为（ ）
A．
B．
C．6
D．11

4. 难度：中等

有同样大小的立方体8个，把它们竖2个，横2个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用1根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

5. 难度：中等

把三根长为1cm的火柴杆和三根长为3cm的火柴杆摆放成如右图所示的圆周上，构成一个六边形，那么此六边形的面积是由三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积的几倍（ ）

A．10
B．15
C．18
D．22

二、填空题

6. 难度：中等

=    ．

7. 难度：中等

已知实数x满足，则x=    ．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（-1，0），以线段AB上一点P为圆心作圆与OA，OB均相切，则点P的坐标为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，AB=BC=9，且∠BAC=45°，P是线段BC上任意一点，P关于AB、AC的对称点为E、F，当△AEF的面积最小时，AP=    ．

10. 难度：中等

n个小球外观相同，其中只有一个质量小于其它小球（其它小球质量都相等），现请你用一架没有砝码的天平作为工具称量3次，把那个质量最小的小球找出来，那么你认为n的最大值为    ．

11. 难度：中等

以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA²+PB²+PC²的值为    ．

三、解答题

12. 难度：中等

已知b、c是满足c＞b＞0的整数，方程x²-bx+c=0有两个不等的实根x₁和x₂，设P=x₁+x₂，Q=x₁²+x₂²，R=（x₁+1）（x₂+1），试比较P、Q、R的大小，并说明理由．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知双曲线，动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．
（1）经过几秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点？
（2）设直线CD与双曲线相交时，交点为A、B．当△AOB面积等于时，求动点C、D两点所经过的时间t．

14. 难度：中等

三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC延长线上一点，且CP=2，
（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积；
（2）当AB变化时，求证：AP的值为定值，并求出这个定值．

15. 难度：中等

A地产汽油，B地需要汽油，汽车自A地运汽油往B地，往返所需的汽油正好等于满载汽油的吨数，故无法直接自A地运往B地．因此，需在中途设一油库为中间站C，自A往返于A、C间的汽车将油从A地运送至C地，然后再由往返于C、B间的汽车将油从C地运至B地．设A、B两地的路程为s，B地收到的汽油吨数与A地运出汽油的吨数之比为运油率k．
（1）当AC=s时，求运油率k的值．
（2）当AC为何值时，运油率最大？并求出此时的运油率k．