2006年浙江省宁波市北仑中学保送生招生数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知直线y=x上有两点A（1，1），B（3，3），在y轴上存在一点P，它到点A，B的距离之和最小，则点P的纵坐标是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

2. 难度：中等

在四边形ABCD中，对角线AC是BD的垂直平分线，∠ADB=30°，∠CDB=45°，且AB=，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．9+3
B．18+6
C．3+9
D．

3. 难度：中等

某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°），绕点C按顺时针方向旋转θ角，转到△A′B′C的位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，B在A′B′上（如图所示），则θ角的度数为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

4. 难度：中等

规定n!=n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1（例如：4!=4×3×2×1），那么S=1!+2!+3!+4!+…+2006!的个位数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

某城市有四条直线型主干道分别为l₁，l₂，l₃，l₄，l₃和l₄相交，l₁和l₂相互平行且与l₃、l₄相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．

A．4
B．8
C．12
D．16

6. 难度：中等

今有一个圆型转盘，先把它的圆周6等分，然后从这6个分点中任取3点构成三角形，则能构成直角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

不论实数k为何值，直线（2k+1）x+（1-k）y+7-k=0恒经过的定点坐标是    ．

8. 难度：中等

化简：=    ．

9. 难度：中等

已知直线y=2x+1经过适当平移后的图象与原来的图象重合，试写出能满足要求的一种平移方案    ．

10. 难度：中等

某人想买A、B、C三件物品，若买13件A物品、5件B物品、9件C物品，则需9.25元；若买2件A物品、4件B物品、3件C物品，则需3.2元．试问若买A物品、B物品、C物品各2件，则需    元．

11. 难度：中等

已知实数x、y满足x²+xy+y²=1，则x²-xy+y²的最大值是    ，最小值是    ．

三、解答题

12. 难度：中等

已知抛物线y=x²+（2a-1）x+a²+3a+与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）令S=x₁²+x₂²，求S的取值范围．

13. 难度：中等

若方程x²-37x+37k-l=0至少有一个正整数根，求所有正整数k的和．

14. 难度：中等

（1）已知，…试猜测的结果，并加以证明；=，
（2）s=，
求不超过S的最大整数[s]．

15. 难度：中等

规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心．
（1）已知I为三角形ABC的内心，连接AI交三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连接BD和CD，求证：BD=CD=ID．
（2）己知三角形ABC，AD平分∠BAC且与它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I满足BD=ID．试问点I是否是三角形ABC的内心？若是加以证明；若不是，说明理由．

16. 难度：中等

现有质量分别为5克和23克的砝码若干只，在天平上要称出质量为4克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？并证明你的结论．